Calcule a integral de superfície: \iint_{S} 3 x-2 y+z d A, onde S é a parte do plano 2 x+3 y+z=6 que está no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}(3x-2y+z)\,dA
onde S é a parte do plano
2x+3y+z=6
que fica no primeiro octante.
O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função sobre um gráfico z=z(x,y). Vamos parametrizar S pela projeção no plano xy, usar a expressão de dA em função de dx\,dy e então integrar sobre a região triangular resultante.
Passo 2
Reescrevemos o plano como gráfico
z(x,y)=6-2x-3y.
No primeiro octante temos x\ge0, y\ge0 e z\ge0. A condição z\ge0 vira