Calcule a integral de superfície:
\iint_{S} 3 x-2 y+z d A, onde S é a parte do plano 2 x+3 y+z=6 que está no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}(3x-2y+z)\,dA
onde S é a parte do plano
2x+3y+z=6
que fica no primeiro octante.
O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função sobre um gráfico z=z(x,y). Vamos parametrizar S pela projeção no plano xy, usar a expressão de dA em função de dx\,dy e então integrar sobre a região triangular resultante.

Passo 2

Reescrevemos o plano como gráfico
z(x,y)=6-2x-3y.
No primeiro octante temos x\ge0, y\ge0 e z\ge0. A condição z\ge0 vira
6-2x-3y\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 3y\le6-2x \quad\Longrightarrow\quad y\le\frac{6-2x}{3}.
Logo a região R no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (3,0) e (0,2).

Passo 3

A fórmula para o elemento de área da superfície z=z(x,y) é
dA = \sqrt{1+\bigl(\tfrac{\partial z}{\partial x}\bigr)^{2} +\bigl(\tfrac{\partial z}{\partial y}\bigr)^{2}}\;dx\,dy.
Aqui
\tfrac{\partial z}{\partial x}=-2, \qquad \tfrac{\partial z}{\partial y}=-3,
então
dA = \sqrt{1+(-2)^{2}+(-3)^{2}}\;dx\,dy =\sqrt{1+4+9}\;dx\,dy =\sqrt{14}\;dx\,dy.

Passo 4

Substituímos z=6-2x-3y na função integranda
3x-2y+z =3x-2y+(6-2x-3y) =(3x-2x)+(-2y-3y)+6 =x-5y+6.

Passo 5

A integral de superfície vira
\iint_{S}(3x-2y+z)\,dA =\iint_{R}(x-5y+6)\,\sqrt{14}\;dx\,dy =\sqrt{14}\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{\frac{6-2x}{3}}(x-5y+6)\,dy\,dx.

Passo 6

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}(x-5y+6)\,dy =(x+6)\,y\Big|_{0}^{\frac{6-2x}{3}} -5\int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}y\,dy.
Temos
(y\text{ em cima})=\frac{6-2x}{3}(x+6), \qquad \int_{0}^{\frac{6-2x}{3}}y\,dy =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{6-2x}{3}\Bigr)^{2}.
Fazendo as contas isso se simplifica a
- \frac{16}{9}x^{2}+\frac{14}{3}x+2.

Passo 7

Agora integramos em x de 0 a 3:
\int_{0}^{3}\Bigl(- \tfrac{16}{9}x^{2}+\tfrac{14}{3}x+2\Bigr)\,dx =\Bigl[-16+21+6\Bigr] =11.
Portanto a integral dupla vale 11.

Passo 8

Não esqueça do fator \sqrt{14} que estava fora:
\iint_{S}(3x-2y+z)\,dA =\sqrt{14}\times 11 =11\sqrt{14}.

Resposta

11\sqrt{14}

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