Calcule a integral de superfície:
\iint_{S} x+z d A, onde S é o cilindro y^{2}+z^{2}=4 e 0 \leq x \leq 5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície da função escalar \,f(x,y,z)=x+z sobre o cilindro lateral
y^{2}+z^{2}=4,\quad 0\le x\le5.
O conteúdo aqui é a parametrização de uma superfície cilíndrica e o uso da fórmula
\iint_{S}f\,dA=\iint_{D}f\bigl(\mathbf r(u,v)\bigr)\,\bigl\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por
\mathbf r(x,\theta)=\bigl(x,\;2\cos\theta,\;2\sin\theta\bigr),
onde x\in[0,5] e \theta\in[0,2\pi].
Calculamos os vetores parciais:
\mathbf r_{x}=(1,\,0,\,0), \quad \mathbf r_{\theta}=(0,\,-2\sin\theta,\,2\cos\theta).

Passo 3

O vetor normal (não unitário) tem norma
\bigl\|\mathbf r_{x}\times\mathbf r_{\theta}\bigr\| =\bigl\|(1,0,0)\times(0,-2\sin\theta,2\cos\theta)\bigr\| = \bigl\|(0,-2\cos\theta,-2\sin\theta)\bigr\| =2.
Logo o elemento de área é dA=2\,d\theta\,dx.

Passo 4

Substituímos na integral:
\iint_{S}(x+z)\,dA =\int_{x=0}^{5}\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\bigl(x+2\sin\theta\bigr)\,2\,d\theta\,dx.
Distribuindo:
=2\int_{0}^{5}\!\int_{0}^{2\pi}x\,d\theta\,dx +2\int_{0}^{5}\!\int_{0}^{2\pi}2\sin\theta\,d\theta\,dx.

Passo 5

Calculamos as integrais em \theta:
\int_{0}^{2\pi}x\,d\theta =2\pi x, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.
Portanto
\iint_{S}(x+z)\,dA =2\int_{0}^{5}2\pi x\,dx =4\pi\int_{0}^{5}x\,dx =4\pi\cdot\frac{5^{2}}{2} =50\pi.

Resposta

50\pi

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