Calcule a integral de superfície
onde
é a superfície externa da pirâmide
.
Escolha uma opção:
a.
b. 36
C.
d. Nenhuma das Respostas
e.
Escolha uma opção:
a.
b. 36
C.
d. Nenhuma das Respostas
e.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a superfície externa (fechada) da pirâmide (tetraedro)
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é a fronteira externa de um tetraedro com vértices em , , e . - O integrando está escrito no formato
(veja passos seguintes para interpretar).
Passo 2
Interpretação do integrando como fluxo de um campo vetorial.
Quando uma integral de superfície fechada aparece na forma
essa integral é o fluxo do campo vetorial
através de
, com orientação externa. Portanto aqui podemos tomar
Explicando de forma bem concreta:
mede o fluxo pela face perpendicular ao eixo
,
pela face perpendicular ao eixo
, e
pela face perpendicular ao eixo
.
Passo 3
Aplicação do teorema da divergência (explicado didaticamente).
O teorema da divergência diz o seguinte (em palavras simples): o fluxo total de um campo vetorial
através da superfície fechada que limita uma região
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
. Em fórmula:
Aqui
. Vamos calcular.
Para
temos
Somando,
Como a divergência é constante, a integral tripla fica simples:
Passo 4
Cálculo do volume
do tetraedro.
A região
é o conjunto
. Esse é um tetraedro com interceptos
,
,
nos eixos. Uma forma padrão de calcular o volume é usar a mudança de variáveis
então a desigualdade fica
com
. O Jacobiano dessa transformação é
. Assim
O volume do simplex padrão
é conhecido e pode ser calculado por integrais:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 5
Conclusão: calcular o fluxo multiplicando
pelo volume.
Usando o resultado do Passo 3 e o volume do Passo 4:
Portanto o valor da integral de superfície é
.
Comparando com as alternativas fornecidas: nenhuma das alternativas listadas coincide com
. A alternativa (e) é
(diferente), logo a opção correta é “Nenhuma das Respostas”.
Resposta
d