Calcule a integral de superfície
\iint_{S} 2 x d y d z+(3 y+x) d x d z+(2 y+4 z) d x d y onde S é a superfície externa da pirâmide \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} \leq 1, \quad x, y, z \geq 0.
Escolha uma opção:
a. 6 \pi a^{2}
b. 36
C. \frac{9 \pi}{10}
d. Nenhuma das Respostas
e. \frac{a b c}{6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} 2 x\, d y\, d z+(3 y+x)\, d x\, d z+(2 y+4 z)\, d x\, d y
onde S é a superfície externa (fechada) da pirâmide (tetraedro)
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} \leq 1,\quad x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é a fronteira externa de um tetraedro com vértices em (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c).
  • O integrando está escrito no formato P\,dy\,dz+Q\,dx\,dz+R\,dx\,dy (veja passos seguintes para interpretar).

Passo 2

Interpretação do integrando como fluxo de um campo vetorial.
Quando uma integral de superfície fechada aparece na forma
\iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dx\,dz + R\,dx\,dy,
essa integral é o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) através de S, com orientação externa. Portanto aqui podemos tomar
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(2x,\;3y+x,\;2y+4z\bigr).
Explicando de forma bem concreta: P\,dy\,dz mede o fluxo pela face perpendicular ao eixo x, Q\,dx\,dz pela face perpendicular ao eixo y, e R\,dx\,dy pela face perpendicular ao eixo z.

Passo 3

Aplicação do teorema da divergência (explicado didaticamente).
O teorema da divergência diz o seguinte (em palavras simples): o fluxo total de um campo vetorial \mathbf{F} através da superfície fechada que limita uma região V é igual à integral tripla da divergência de \mathbf{F} sobre o volume V. Em fórmula:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} \operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Aqui \operatorname{div}\mathbf{F}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}. Vamos calcular.
Para \mathbf{F}=(2x,\;3y+x,\;2y+4z) temos
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial (2x)}{\partial x}=2,
\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial (3y+x)}{\partial y}=3,
\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{\partial (2y+4z)}{\partial z}=4.
Somando,
\operatorname{div}\mathbf{F}=2+3+4=9.
Como a divergência é constante, a integral tripla fica simples:
\iint_{S} 2 x\, d y\, d z+(3 y+x)\, d x\, d z+(2 y+4 z)\, d x\, d y = \iiint_{V} 9\, dV = 9\cdot \operatorname{Vol}(V).

Passo 4

Cálculo do volume \operatorname{Vol}(V) do tetraedro.
A região V é o conjunto \{(x,y,z)\mid x\ge0,y\ge0,z\ge0,\; x/a+y/b+z/c\le1\}. Esse é um tetraedro com interceptos a, b, c nos eixos. Uma forma padrão de calcular o volume é usar a mudança de variáveis
x=a u,\quad y=b v,\quad z=c w,
então a desigualdade fica u+v+w\le 1 com u,v,w\ge0. O Jacobiano dessa transformação é |J|=abc. Assim
\operatorname{Vol}(V)=\int_{V} dV = \int_{u\ge0,v\ge0,w\ge0,\;u+v+w\le1} abc\, du\,dv\,dw = abc\cdot \operatorname{Vol}(\text{simplex }u+v+w\le1).
O volume do simplex padrão \{u,v,w\ge0,\;u+v+w\le1\} é conhecido e pode ser calculado por integrais:
\operatorname{Vol}=\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1-u}\int_{w=0}^{1-u-v} dw\,dv\,du.
Calcule passo a passo:
\int_{w=0}^{1-u-v} dw = 1-u-v,
\int_{v=0}^{1-u} (1-u-v)\,dv = \left[(1-u)v - \frac{v^{2}}{2}\right]_{0}^{1-u} = (1-u)^{2}-\frac{(1-u)^{2}}{2}=\frac{(1-u)^{2}}{2},
\int_{u=0}^{1} \frac{(1-u)^{2}}{2}\,du = \frac{1}{2}\left[ -\frac{(1-u)^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Portanto
\operatorname{Vol}(V)=abc\cdot \frac{1}{6}=\frac{abc}{6}.

Passo 5

Conclusão: calcular o fluxo multiplicando \operatorname{div}\mathbf{F}=9 pelo volume.
Usando o resultado do Passo 3 e o volume do Passo 4:
\text{fluxo} = 9\cdot \operatorname{Vol}(V) = 9\cdot \frac{abc}{6} = \frac{9}{6}abc = \frac{3}{2}abc.
Portanto o valor da integral de superfície é \dfrac{3}{2}abc.
Comparando com as alternativas fornecidas: nenhuma das alternativas listadas coincide com \dfrac{3}{2}abc. A alternativa (e) é \dfrac{abc}{6} (diferente), logo a opção correta é “Nenhuma das Respostas”.

Resposta

d

Exercícios relacionados