Resolva os sistemas de equações diferenciais pelo método de operadores:
\left\{\begin{aligned} \frac{d x}{d t} & =2 x-y \\\ \frac{d y}{d t} & =x\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais com incógnitas x(t)\) e \(y(t)\): \[\begin{cases} \frac{d x}{d t}=2x-y,\\[4pt] \frac{d y}{d t}=x. \end{cases}
O que se pede: encontrar as funções x(t)\] e \(y(t) que satisfazem simultaneamente essas duas equações (solução geral do sistema). As informações relevantes são exatamente as duas equações acima; não há condições iniciais fornecidas, então vamos obter a solução geral com constantes arbitrárias.]

Passo 2

Vamos começar a resolução. Primeiro, apresento o operador diferencial que vamos usar: denotamos por D\) o operador derivada em relação a \(t\), \[D=\frac{d}{dt}.
Isto significa que, por exemplo, Dx=\dfrac{dx}{dt} e D^2x=\dfrac{d^2x}{dt^2}. O operador é linear, isto é, D( a u + b v)=a\,Du+b\,Dv para constantes a,b e funções u,v.
Escrevendo as equações do sistema com o operador D temos
\begin{cases} Dx=2x-y,\\[4pt] Dy=x. \end{cases}
Aqui eu apenas reescrevi as derivadas com (D]; nada de mágico ainda.]

Passo 3

O objetivo no método de operadores é eliminar uma das incógnitas para obter uma equação apenas em x (ou apenas em y). Da primeira equação isolamos y:
y=2x - Dx.
Agora derivamos essa expressão para obter Dy em termos de x:
Dy = D(2x - Dx)=2\,Dx - D^2x,
usando a linearidade de D.
Mas a segunda equação do sistema dá Dy=x. Então igualamos as duas expressões para Dy:
2\,Dx - D^2x = x.
Reorganizando tudo para o lado esquerdo:
- D^2x + 2\,Dx - x = 0.
Multiplicando por -1 (apenas para escrever o polinômio com sinal tradicional) obtemos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
D^2x - 2\,Dx + x = 0.

Passo 4

Agora vamos resolver a equação homogênea
D^2x - 2\,Dx + x = 0.
O método padrão é procurar soluções da forma x(t)=e^{rt}. Substituindo x(t)=e^{rt} temos Dx = r e^{rt} e D^2x = r^2 e^{rt}. Cancelando o fator e^{rt}\neq 0, obtemos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0.
Essa equação é um quadrático que fatoriza:
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0.
Portanto temos raiz real r=1 de multiplicidade 2.
Quando a raíz r da equação característica tem multiplicidade 2, a forma geral das soluções da equação diferencial é
x(t) = (C_1 + C_2 t)\,e^{rt},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aqui r=1, então a solução geral para x é
x(t) = (C_1 + C_2 t)\,e^{t}.

Passo 5

Agora resta encontrar y(t). Usamos a relação que obtivemos antes:
y=2x - Dx.
Primeiro calculemos Dx. Para
x(t) = (C_1 + C_2 t)\,e^{t},
fazendo a derivada por produto:
Dx = \frac{d}{dt}\big((C_1 + C_2 t)e^{t}\big) = C_2 e^{t} + (C_1 + C_2 t)e^{t} = (C_1 + C_2 + C_2 t)\,e^{t}.
Agora substituímos em y=2x - Dx:
\begin{aligned} y(t) &= 2\,(C_1 + C_2 t)\,e^{t} - (C_1 + C_2 + C_2 t)\,e^{t}\\[6pt] &= \big(2C_1 + 2C_2 t - C_1 - C_2 - C_2 t\big)\,e^{t}\\[6pt] &= \big((C_1 - C_2) + C_2 t\big)\,e^{t}. \end{aligned}
Assim obtemos a solução geral do sistema dada por x(t) e y(t) com duas constantes arbitrárias C_1 e C_2.]

Passo 6

Resumo e verificação rápida (mental): temos
x(t)=(C_1 + C_2 t)e^{t},\qquad y(t)=\big((C_1 - C_2) + C_2 t\big)e^{t}.
Se você quiser checar, pode calcular Dx e Dy e substituir nas equações originais para confirmar que ambas são satisfeitas. Isso fecha a solução geral do sistema pelo método de operadores.

Resposta

x(t)=(C_1 + C_2 t)e^{t}\n
y(t)=\big((C_1 - C_2) + C_2 t\big)e^{t}

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