Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{B} x^{2} d x d y, onde B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+4 y^{2} \leq 1\right\};

Passo 1

Vamos distinguir claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Região dada: B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+4y^{2}\leq1\}.
  • Pedido: calcular a integral dupla \displaystyle \iint_{B} x^{2}\,dx\,dy.
Não vou resolver aqui ainda, só deixei explícito o domínio e a integral que precisamos avaliar.

Passo 2

Observação sobre a região B e ideia da estratégia (sem calcular ainda).
  • A desigualdade x^{2}+4y^{2}\leq1 descreve uma elipse centrada na origem, alongada no eixo x. Trabalhar diretamente em coordenadas cartesianas exige limites complicados.
  • Uma ideia comum e eficiente é transformar a elipse numa circunferência unitária por uma mudança de variáveis linear. Isso simplifica muito a integral porque passa a ser uma integral sobre o disco \{u^{2}+v^{2}\le1\}.
Nos próximos passos faremos essa mudança de variáveis e usaremos coordenadas polares no disco para integrar de forma simples.

Passo 3

Escolha da mudança de variáveis e cálculo do Jacobiano.
  • Façamos a troca
u = x,\qquad v = 2y.
Essa transformação leva a elipse em B para o disco unitário
D=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\mid u^{2}+v^{2}\le1\},
pois x^{2}+4y^{2}=u^{2}+v^{2}.
  • Inverter a transformação para expressar x,y em função de u,v:
x = u,\qquad y = \frac{v}{2}.
  • Determinar o fator de escala (jacobiano) da mudança (u,v)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é
\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
O determinante é \dfrac{1}{2}. Portanto o elemento de área se transforma como
dx\,dy = \left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv = \frac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 4

Reescrever a integral na variável (u,v).
  • Como x = u, o integrando x^{2} vira u^{2}. Usando o jacobiano, a integral original fica
\iint_{B} x^{2}\,dx\,dy = \iint_{D} u^{2}\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv = \frac{1}{2}\iint_{u^{2}+v^{2}\le1} u^{2}\,du\,dv.
Agora temos uma integral sobre o disco unitário D. É natural passar para coordenadas polares (r,\theta) no plano (u,v).

Passo 5

Passagem para coordenadas polares em (u,v) e expressão do integrando.
  • Em coordenadas polares no plano (u,v) tomamos
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com r\in[0,1] e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de área é du\,dv = r\,dr\,d\theta.
  • Substituindo u=r\cos\theta e du\,dv=r\,dr\,d\theta na integral da etapa anterior:
\frac{1}{2}\iint_{D} u^{2}\,du\,dv = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (r\cos\theta)^{2}\, r\,dr\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular as integrais radial e angular separadamente.
  • Primeiro a integral radial:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
  • Agora a integral angular de \cos^{2}\theta. Use a identidade de redução
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A primeira parte dá \dfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi. A segunda parte é zero porque \cos(2\theta) tem média zero no período inteiro:
\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta = 0.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.
  • Juntando resultados:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta = \frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\pi = \frac{\pi}{8}.

Passo 7

Verificação rápida por simetria (intuição).
  • Como a região B é simétrica em torno do eixo y, a média de x^{2} sobre a elipse é positiva; o cálculo anterior dá um valor finito \dfrac{\pi}{8}. Outra maneira (menos direta) seria usar esperança geométrica: para elipse com equação x^{2}/1 + y^{2}/(1/4)\le1 pode-se relacionar momentos, mas a transformação feita é a mais direta e segura para a prova.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}

Exercícios relacionados