Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas: \iint_{B} x^{2} d x d y, onde B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+4 y^{2} \leq 1\right\};
Passo 1
Vamos distinguir claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Região dada: B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+4y^{2}\leq1\}.
Pedido: calcular a integral dupla \displaystyle \iint_{B} x^{2}\,dx\,dy.
Não vou resolver aqui ainda, só deixei explícito o domínio e a integral que precisamos avaliar.
Passo 2
Observação sobre a região B e ideia da estratégia (sem calcular ainda).
A desigualdade x^{2}+4y^{2}\leq1 descreve uma elipse centrada na origem, alongada no eixo x. Trabalhar diretamente em coordenadas cartesianas exige limites complicados.
Uma ideia comum e eficiente é transformar a elipse numa circunferência unitária por uma mudança de variáveis linear. Isso simplifica muito a integral porque passa a ser uma integral sobre o disco \{u^{2}+v^{2}\le1\}.
Nos próximos passos faremos essa mudança de variáveis e usaremos coordenadas polares no disco para integrar de forma simples.
Passo 3
Escolha da mudança de variáveis e cálculo do Jacobiano.
Façamos a troca
u = x,\qquad v = 2y.
Essa transformação leva a elipse em B para o disco unitário
D=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\mid u^{2}+v^{2}\le1\},
pois x^{2}+4y^{2}=u^{2}+v^{2}.
Inverter a transformação para expressar x,y em função de u,v:
x = u,\qquad y = \frac{v}{2}.
Determinar o fator de escala (jacobiano) da mudança (u,v)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é
Como a região B é simétrica em torno do eixo y, a média de x^{2} sobre a elipse é positiva; o cálculo anterior dá um valor finito \dfrac{\pi}{8}. Outra maneira (menos direta) seria usar esperança geométrica: para elipse com equação x^{2}/1 + y^{2}/(1/4)\le1 pode-se relacionar momentos, mas a transformação feita é a mais direta e segura para a prova.