Calcule a integral de superfície: \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d S, em que S é a superfície com equação vetorial \vec{r}(u, v)=\left(2 u v, u^{2}-v^{2}, u^{2}+v^{2}\right), \operatorname{com} u^{2}+v^{2} \leq 1. Passo 1O problema pede \iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS onde S é dada pela parametrização \vec r(u,v) = \bigl(2uv,\;u^{2}-v^{2},\;u^{2}+v^{2}\bigr), com \,u^{2}+v^{2}\le1. Para resolver, vamos usar a fórmula de integral de superfície via parametrização: \iint_{S}f(x,y)\,dS =\iint_{D}f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\; \bigl\lvert \vec r_{u}\times \vec r_{v}\bigr\rvert \,du\,dv, onde D é o disco u^{2}+v^{2}\le1. Passo 2Calculemos primeiro \vec r_{u} e \vec r_{v}: \vec r_{u}=(2v,\;2u,\;2u), \qquad \vec r_{v}=(2u,\;-2v,\;2v). O produto vetorial é \vec r_{u}\times \vec r_{v} =\bigl(8uv,\;4(u^{2}-v^{2}),\;-4(u^{2}+v^{2})\bigr) e seu módulo vale \bigl\lvert \vec r_{u}\times \vec r_{v}\bigr\rvert =\sqrt{64u^{2}v^{2}+16(u^{2}-v^{2})^{2}+16(u^{2}+v^{2})^{2}} =4\sqrt2\,(u^{2}+v^{2}). Passo 3A função na superfície é x=2uv,\quad y=u^{2}-v^{2}, logo x^{2}+y^{2} =(2uv)^{2}+(u^{2}-v^{2})^{2} =4u^{2}v^{2}+u^{4}-2u^{2}v^{2}+v^{4} =(u^{2}+v^{2})^{2}. Assim o integrando em (u,v) fica (x^{2}+y^{2})\;\bigl\lvert \vec r_{u}\times \vec r_{v}\bigr\rvert = (u^{2}+v^{2})^{2}\;\bigl[4\sqrt2\,(u^{2}+v^{2})\bigr] =4\sqrt2\,(u^{2}+v^{2})^{3}. Passo 4Passemos a coordenadas polares em D: u=r\cos\theta,\quad v=r\sin\theta,\quad 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi, com u^{2}+v^{2}=r^{2} e du\,dv=r\,dr\,d\theta. A integral torna-se \iint_{D}4\sqrt2\,(r^{2})^{3}\;r\,dr\,d\theta =4\sqrt2\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^{7}\,dr =4\sqrt2\,(2\pi)\,\frac{1}{8} =\pi\sqrt2. Resposta \displaystyle \pi\sqrt2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule a integral de superfície: \iint_{S}(x+y+z) d S, em que S é o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 \leq u \leq 2 e 0 \leq v \leq 1. Existe um campo vetorial \vec{G} em \mathbb{R}^{3} tal que \operatorname{rot} G=(x, y, z) ? Explique. Calcule a integral de superfície: \iint_{S} x d S, em que S é a superfície y=x^{2}+4 z, 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq z \leq 1. Calcule o limite, se existir. \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x+2}{x^{3}+8}