Calcule a integral de superfície:
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d S, em que S é a superfície com equação vetorial \vec{r}(u, v)=\left(2 u v, u^{2}-v^{2}, u^{2}+v^{2}\right), \operatorname{com} u^{2}+v^{2} \leq 1.

Passo 1

O problema pede
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS
onde S é dada pela parametrização
\vec r(u,v) = \bigl(2uv,\;u^{2}-v^{2},\;u^{2}+v^{2}\bigr),
com \,u^{2}+v^{2}\le1.
Para resolver, vamos usar a fórmula de integral de superfície via parametrização:
\iint_{S}f(x,y)\,dS =\iint_{D}f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\; \bigl\lvert \vec r_{u}\times \vec r_{v}\bigr\rvert \,du\,dv,
onde D é o disco u^{2}+v^{2}\le1.

Passo 2

Calculemos primeiro \vec r_{u} e \vec r_{v}:
\vec r_{u}=(2v,\;2u,\;2u), \qquad \vec r_{v}=(2u,\;-2v,\;2v).
O produto vetorial é
\vec r_{u}\times \vec r_{v} =\bigl(8uv,\;4(u^{2}-v^{2}),\;-4(u^{2}+v^{2})\bigr)
e seu módulo vale
\bigl\lvert \vec r_{u}\times \vec r_{v}\bigr\rvert =\sqrt{64u^{2}v^{2}+16(u^{2}-v^{2})^{2}+16(u^{2}+v^{2})^{2}} =4\sqrt2\,(u^{2}+v^{2}).

Passo 3

A função na superfície é
x=2uv,\quad y=u^{2}-v^{2},
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x^{2}+y^{2} =(2uv)^{2}+(u^{2}-v^{2})^{2} =4u^{2}v^{2}+u^{4}-2u^{2}v^{2}+v^{4} =(u^{2}+v^{2})^{2}.
Assim o integrando em (u,v) fica
(x^{2}+y^{2})\;\bigl\lvert \vec r_{u}\times \vec r_{v}\bigr\rvert = (u^{2}+v^{2})^{2}\;\bigl[4\sqrt2\,(u^{2}+v^{2})\bigr] =4\sqrt2\,(u^{2}+v^{2})^{3}.

Passo 4

Passemos a coordenadas polares em D:
u=r\cos\theta,\quad v=r\sin\theta,\quad 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi,
com u^{2}+v^{2}=r^{2} e du\,dv=r\,dr\,d\theta. A integral torna-se
\iint_{D}4\sqrt2\,(r^{2})^{3}\;r\,dr\,d\theta =4\sqrt2\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r^{7}\,dr =4\sqrt2\,(2\pi)\,\frac{1}{8} =\pi\sqrt2.

Resposta

\displaystyle \pi\sqrt2

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