Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x+2}{x^{3}+8}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função racional \frac{x+2}{x^3+8} quando x\to -2. Observamos que, ao substituir x=-2 diretamente, obtemos indeterminação \frac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a fatoração do denominador pela soma de cubos e simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos o denominador usando a identidade de soma de cubos:
x^3 + 8 = (x+2)\bigl(x^2 - 2x + 4\bigr).
Logo, para x\neq -2,
\frac{x+2}{x^3+8} = \frac{x+2}{(x+2)\bigl(x^2 - 2x + 4\bigr)} = \frac{1}{x^2 - 2x + 4}.

Passo 3

Com a forma simplificada, basta avaliar em x=-2:
x^2 - 2x + 4 = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12.
Portanto,
\lim_{x\to -2} \frac{x+2}{x^3+8} = \frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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