Existe um campo vetorial
em
tal que
? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um campo vetorial
tal que
O conteúdo envolve as propriedades do rotacional e da divergência em cálculo vetorial.
Passo 2
Lembramos a identidade fundamental de cálculo vetorial: para qualquer campo vetorial suficientemente suave
, vale
Ou seja, o divergente do rotacional de um campo é sempre zero.
Passo 3
Se existisse
com
, então deveríamos ter
Mas
Passo 4
Há, portanto, uma contradição: de um lado a identidade diz que
; de outro, o cálculo direto dá
. Logo não existe tal campo
.
Resposta
Não existe campo vetorial
em
cuja rotação seja
.