Existe um campo vetorial \vec{G} em \mathbb{R}^{3} tal que \operatorname{rot} G=(x, y, z) ? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um campo vetorial \vec G\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que
\operatorname{rot}\vec G = (x,y,z).
O conteúdo envolve as propriedades do rotacional e da divergência em cálculo vetorial.

Passo 2

Lembramos a identidade fundamental de cálculo vetorial: para qualquer campo vetorial suficientemente suave \vec F, vale
\mathrm{div}\bigl(\operatorname{rot}\vec F\bigr)=0.
Ou seja, o divergente do rotacional de um campo é sempre zero.

Passo 3

Se existisse \vec G com \operatorname{rot}\vec G=(x,y,z), então deveríamos ter
\mathrm{div}\bigl(\operatorname{rot}\vec G\bigr) =\mathrm{div}(x,y,z).
Mas
\mathrm{div}(x,y,z) =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} =1+1+1=3\neq0.

Passo 4

Há, portanto, uma contradição: de um lado a identidade diz que \mathrm{div}(\operatorname{rot}\vec G)=0; de outro, o cálculo direto dá 3. Logo não existe tal campo \vec G.

Resposta

Não existe campo vetorial \vec G em \mathbb{R}^3 cuja rotação seja (x,y,z).

Exercícios relacionados