Calcule a integral de superfície:
\iint_{S}(x+y+z) d S, em que S é o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 \leq u \leq 2 e 0 \leq v \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S}(x+y+z)\,dS
onde S está dada pela parametrização
\mathbf r(u,v) = (x,y,z) = (u+v,\;u-v,\;1+2u+v),
com 0\le u\le2 e 0\le v\le1.
O conteúdo é integral de superfície via parametrização: precisamos calcular \mathbf r_u\times\mathbf r_v, seu módulo para dS, expressar x+y+z em função de u,v e integrar em [0,2]\times[0,1].

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e o vetor normal:
\mathbf r_u = \frac{\partial\mathbf r}{\partial u} = (1,1,2), \quad \mathbf r_v = \frac{\partial\mathbf r}{\partial v} = (1,-1,1).
O produto vetorial é
\mathbf r_u\times\mathbf r_v = (3,1,-2),
cujo módulo é
\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\| = \sqrt{3^2 +1^2 +(-2)^2} = \sqrt{14}.
Logo dS = \sqrt{14}\,du\,dv.

Passo 3

Expressamos o integrando em termos de u,v:
x+y+z = (u+v)+(u-v)+(1+2u+v) = 4u + v + 1.
Assim a integral torna-se
\iint_S (x+y+z)\,dS = \int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1} \bigl(4u+v+1\bigr)\,\sqrt{14}\;dv\,du.

Passo 4

Primeiro integramos em v:
\int_{0}^{1} (4u+v+1)\,dv = (4u+1)\cdot1 + \frac{1^2}{2} = 4u + \tfrac32.
Em seguida em u:
\int_{0}^{2} \Bigl(4u + \tfrac32\Bigr)\,du = 4\cdot\frac{2^2}{2} + \tfrac32\cdot2 = 8 + 3 = 11.
Multiplicando por \sqrt{14} 11\sqrt{14}.

Resposta

11\sqrt{14}.

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