Calcule a integral de superfície:
\iint_{S} x d S, em que S é a superfície y=x^{2}+4 z, 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
\iint_{S} x\,dS
onde S é o gráfico da função
y = x^{2} + 4z
para \,0 \le x \le 1 e 0 \le z \le 1.
O conteúdo usado será a fórmula de integral de superfície para gráfico de y=f(x,z):
dS = \sqrt{1 + \bigl(f_x\bigr)^2 + \bigl(f_z\bigr)^2}\,dx\,dz.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,z)=x^{2}+4z:
f_x = 2x, \quad f_z = 4.
Logo
dS = \sqrt{1 + (2x)^2 + 4^2}\,dx\,dz = \sqrt{1 + 4x^2 + 16}\,dx\,dz = \sqrt{17 + 4x^2}\,dx\,dz.
A integral vira
\iint_{S} x\,dS = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1} x\,\sqrt{17 + 4x^2}\;dz\,dx.

Passo 3

Como o integrando não depende de z, o interno sobre z só multiplica por 1:
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1} x\,\sqrt{17 + 4x^2}\;dz\,dx = \int_{0}^{1} x\,\sqrt{17 + 4x^2}\;dx.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{1} x\,\sqrt{17 + 4x^2}\,dx use a substituição
u = 17 + 4x^2,\quad du = 8x\,dx,\quad x\,dx = \frac{du}{8}.
Quando x=0 vem u=17, e quando x=1 vem u=21. Então
\int_{0}^{1} x\,\sqrt{17 + 4x^2}\,dx = \int_{17}^{21} \frac{1}{8}\,u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}\,\Bigl[u^{\tfrac32}\Bigr]_{17}^{21} = \frac{1}{12}\,\bigl(21^{\tfrac32}-17^{\tfrac32}\bigr).

Resposta

\iint_{S} x\,dS = \frac{1}{12}\,\bigl(21^{\tfrac32}-17^{\tfrac32}\bigr).

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