Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
dado e a superfície orientada
. Para as superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
; S é a superfície do tetraedro com vértices
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede a integral de superfície
onde é a superfície do tetraedro dado, com orientação positiva (para o exterior). - A superfície
é a superfície fechada do tetraedro com vértices , , e . - O campo vetorial é
. - Informação importante: como
é a superfície de um sólido fechado e a orientação pedida é a exterior, podemos usar teoremas que relacionam fluxo pela superfície a integrais sobre o volume interior (se for conveniente).
Passo 2
Escolha do método e enunciado do teorema que vamos usar:
- Como
é a superfície de um sólido fechado e a orientação é a exterior, o método natural e mais prático é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Justificativa: calcular fluxos face a face desse tetraedro diretamente dá muito trabalho; o Teorema da Divergência transforma a integral de superfície numa integral tripla sobre o volume, e frequentemente o integrando fica simples. - Enunciado do Teorema da Divergência:
Aqui:
-
é a superfície fechada que limita o volume (no nosso caso ); -
é o elemento de área vetorial apontando para fora (orientação exterior); -
é a divergência de , que é a soma das derivadas parciais das componentes de em relação às suas variáveis correspondentes; -
é o elemento de volume. - Explicação da divergência: se
então
Fisicamente é a taxa líquida de “saída” por unidade de volume; matematicamente é fácil de calcular através de derivadas parciais.
Passo 3
Calcular a divergência de
passo a passo:
- Escrevemos as componentes:
- Aplicando a definição da divergência:
- Calculando cada derivada parcial (explicando por que são simples):
-
porque não depende de (tratamos como constantes ao derivar em relação a ). -
porque não depende de . -
porque não depende de .
-
- Somando:
Passo 4
Aplicar o Teorema da Divergência e concluir a integral:
- Pelo Teorema da Divergência,
onde é o volume do tetraedro interior a . Do passo anterior sabemos que em todo o espaço (portanto também em ). - Assim a integral tripla fica
- Não precisamos parametrizar faces nem calcular volumes específicos porque integrar a função zero sobre qualquer domínio dá zero.
Passo 5
Interpretação final e incentivo rápido:
- A resposta zero significa que o fluxo líquido do campo
saindo do tetraedro é nulo: tanto entra quanto sai a mesma quantidade por todo o contorno — ou, dito de outra forma, o campo não tem fontes nem sumidouros dentro do tetraedro (divergência nula). - Bom trabalho! Usar o Teorema da Divergência é um truque muito útil em provas: sempre que a superfície for fechada e a divergência for simples (ou zero), vale arriscar esse caminho.
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