Calcule a integral de superfície \iint_{S} \vec{F} \cdot d S para o campo vetorial \vec{F} dado e a superfície orientada S. Para as superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
\vec{F}(x, y, z)=y z \vec{i}+x z \vec{j}+x y \vec{k}; S é a superfície do tetraedro com vértices (0,0,0),(4,0,0),(0,4,0) e (0,0,4).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede a integral de superfície \iint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S} onde S é a superfície do tetraedro dado, com orientação positiva (para o exterior).
  • A superfície S é a superfície fechada do tetraedro com vértices (0,0,0), (4,0,0), (0,4,0) e (0,0,4).
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=y z\,\vec{i}+x z\,\vec{j}+x y\,\vec{k}.
  • Informação importante: como S é a superfície de um sólido fechado e a orientação pedida é a exterior, podemos usar teoremas que relacionam fluxo pela superfície a integrais sobre o volume interior (se for conveniente).

Passo 2

Escolha do método e enunciado do teorema que vamos usar:
  • Como S é a superfície de um sólido fechado e a orientação é a exterior, o método natural e mais prático é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Justificativa: calcular fluxos face a face desse tetraedro diretamente dá muito trabalho; o Teorema da Divergência transforma a integral de superfície numa integral tripla sobre o volume, e frequentemente o integrando fica simples.
  • Enunciado do Teorema da Divergência:
\iint_{\partial V} \vec{F}\cdot d\vec{S} \;=\; \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\, dV.
Aqui:
  • \partial V é a superfície fechada que limita o volume V (no nosso caso \partial V=S);
  • d\vec{S} é o elemento de área vetorial apontando para fora (orientação exterior);
  • \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}, que é a soma das derivadas parciais das componentes de \vec{F} em relação às suas variáveis correspondentes;
  • dV é o elemento de volume.
  • Explicação da divergência: se \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) então
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Fisicamente é a taxa líquida de “saída” por unidade de volume; matematicamente é fácil de calcular através de derivadas parciais.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F} passo a passo:
  • Escrevemos as componentes: F_1(x,y,z)=y z,\qquad F_2(x,y,z)=x z,\qquad F_3(x,y,z)=x y.
  • Aplicando a definição da divergência: \nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(y z)+\frac{\partial}{\partial y}(x z)+\frac{\partial}{\partial z}(x y).
  • Calculando cada derivada parcial (explicando por que são simples):
    • \frac{\partial}{\partial x}(y z)=0 porque y z não depende de x (tratamos y,z como constantes ao derivar em relação a x).
    • \frac{\partial}{\partial y}(x z)=0 porque x z não depende de y.
    • \frac{\partial}{\partial z}(x y)=0 porque x y não depende de z.
  • Somando: \nabla\cdot\vec{F}=0+0+0=0.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência e concluir a integral:
  • Pelo Teorema da Divergência, \iint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S} \;=\; \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\, dV,onde V é o volume do tetraedro interior a S. Do passo anterior sabemos que \nabla\cdot\vec{F}=0 em todo o espaço (portanto também em V).
  • Assim a integral tripla fica \iiint_{V} 0\, dV = 0.
  • Não precisamos parametrizar faces nem calcular volumes específicos porque integrar a função zero sobre qualquer domínio dá zero.

Passo 5

Interpretação final e incentivo rápido:
  • A resposta zero significa que o fluxo líquido do campo \vec{F} saindo do tetraedro é nulo: tanto entra quanto sai a mesma quantidade por todo o contorno — ou, dito de outra forma, o campo não tem fontes nem sumidouros dentro do tetraedro (divergência nula).
  • Bom trabalho! Usar o Teorema da Divergência é um truque muito útil em provas: sempre que a superfície for fechada e a divergência for simples (ou zero), vale arriscar esse caminho.

Resposta

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