Exercício 1 - Cálculo
Calcule as integrais triplas em cada item:
Integral tripla sobre D de \operatorname{sqrt}\left(1-z^{\wedge} 2\right) d x d y d z
Onde \mathrm{D}=\left\{(x, y, z) \mathrm{em} \mathrm{R}^{3} ; 0<=x<=1,0<=z<=1,0<=y<=z\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{D}\sqrt{1 - z^2}\,dx\,dy\,dz,
onde
D = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0 \le x \le 1,\;0 \le z \le 1,\;0 \le y \le z\}.
Vamos usar a definição de integral iterada e notar que o integrando independe de x e de y.

Passo 2

Como \sqrt{1 - z^2} não depende de x nem de y, podemos separar a integral em fatores:
\int_{x=0}^{1}dx,\quad \int_{y=0}^{z}dy,\quad \int_{z=0}^{1}\sqrt{1 - z^2}\,dz.
Assim,
\iiint_{D}\sqrt{1 - z^2}\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{z}\!\!\int_{0}^{1}\sqrt{1 - z^2}\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{1} (1)\,(z)\,\sqrt{1 - z^2}\,dz.

Passo 3

Portanto, a integral reduz-se a
\int_{0}^{1} z\,\sqrt{1 - z^2}\,dz.
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
u = 1 - z^2,\quad du = -2z\,dz\quad\Longrightarrow\quad z\,dz = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 4

Quando z=0, u=1, e quando z=1, u=0. Logo,
\int_{0}^{1} z\,\sqrt{1 - z^2}\,dz = -\tfrac{1}{2}\int_{1}^{0}u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\cdot\biggl[\tfrac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}\biggr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}.

Resposta

\tfrac{1}{3}

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