Exercício 1 - Cálculo
Calcule as integrais triplas em cada item:
Integral tripla sobre D de \operatorname{sqrt}\left(1-z^{\wedge} 2\right) d x d y d z
Onde \mathrm{D}=\left\{(x, y, z) \mathrm{em} \mathrm{R}^{3} ; 0<=x<=1,0<=y<=1,0<=z<=x\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_D \sqrt{1 - z^2}\,dx\,dy\,dz
no domínio
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le x\}.
O conteúdo envolve o Teorema de Fubini e, se conveniente, troca de ordem de integração.

Passo 2

Como a função integranda não depende de y, fazemos primeiro
\int_0^1 dy =1.
Assim
\int_D \sqrt{1 - z^2}\,dx\,dy\,dz = \int_0^1\!\int_0^1\!\int_0^x \sqrt{1 - z^2}\,dz\,dy\,dx = \int_0^1\!\int_0^x \sqrt{1 - z^2}\,dz\,dx.

Passo 3

A região no plano xz é \{0\le z\le x\le1\}. Trocando a ordem x\leftrightarrow z:
\int_0^1\!\int_0^x \sqrt{1 - z^2}\,dz\,dx = \int_0^1\!\int_z^1 \sqrt{1 - z^2}\,dx\,dz = \int_0^1 (1 - z)\,\sqrt{1 - z^2}\,dz.

Passo 4

Separe a integral em duas partes:
\int_0^1 (1 - z)\sqrt{1 - z^2}\,dz = \int_0^1 \sqrt{1 - z^2}\,dz - \int_0^1 z\,\sqrt{1 - z^2}\,dz.

Passo 5

Calcule
\int_0^1 \sqrt{1 - z^2}\,dz.
Este é um quarto de círculo de raio 1, logo
\int_0^1 \sqrt{1 - z^2}\,dz = \frac\pi4.

Passo 6

Calcule
\int_0^1 z\sqrt{1 - z^2}\,dz.
Use u=1-z^2, du=-2z\,dz. Então
\int_0^1 z\sqrt{1 - z^2}\,dz = \frac12\int_1^0 \sqrt{u}(-du) = \frac12\int_0^1 u^{1/2}\,du = \frac12\cdot\frac{2}{3} = \frac13.

Passo 7

Substituindo os resultados:
\int_0^1 (1 - z)\sqrt{1 - z^2}\,dz = \frac\pi4 - \frac13.
Portanto, a integral tripla original vale \frac\pi4 - \frac13.

Resposta

\displaystyle \frac\pi4 - \frac13

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