Calcule a integral de superfície.
\iint_{S} x z d S,
S é o triangular com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S} x\,z\,dS
onde S é o triângulo no plano x+y+z=1 com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Para resolver, usamos projeção de S no plano xy, escrevendo z como função de (x,y) e calculando o fator de área dS.

Passo 2

No plano x+y+z=1 temos
z = 1 - x - y.
A projeção de S no plano xy é o triângulo
D = \bigl\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\bigr\}.

Passo 3

Para z(x,y)=1-x-y temos
\frac{\partial z}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -1,
de modo que
dS = \sqrt{1+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr)^2}\;dx\,dy =\sqrt{1+1+1}\;dx\,dy =\sqrt{3}\;dx\,dy.

Passo 4

Substituindo na integral de superfície,
\iint_{S} x\,z\,dS =\iint_{D} x\bigl(1 - x - y\bigr)\,\sqrt{3}\;dx\,dy =\sqrt{3}\iint_{D} x\,(1 - x - y)\;dx\,dy.

Passo 5

Calculemos
\iint_{D} x\,(1 - x - y)\;dx\,dy =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1-x} x\,(1 - x - y)\;dy\,dx.
Primeiro a integral em y:
\int_{0}^{1-x} x\,(1 - x - y)\;dy =x\biggl[(1 - x)y-\frac{y^2}{2}\biggr]_{0}^{1-x} =x\frac{(1-x)^2}{2}.
Agora em x:
\int_{0}^{1} x\,\frac{(1-x)^2}{2}\;dx =\frac12\int_{0}^{1}x(1-2x+x^2)\;dx =\frac12\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\frac12\cdot\frac{1}{12} =\frac{1}{24}.

Passo 6

Portanto
\iint_{S} x\,z\,dS =\sqrt{3}\times\frac{1}{24} =\frac{\sqrt{3}}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{24}

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