Calcule a integral de superfície.
\iint_{S} y z d S,
S é a parte do plano z=y+3 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} y\,z\,dS,
onde S é a parte do plano
z = y + 3
que fica dentro do cilindro
x^{2} + y^{2} = 1.
O conteúdo aqui é integral de superfície de um gráfico z=f(x,y), e vamos precisar usar a fórmula
dS = \sqrt{1 + \bigl(f_x\bigr)^2 + \bigl(f_y\bigr)^2}\,dA.

Passo 2

Representamos S como o gráfico da função
f(x,y) = y + 3
sobre a região plana
D = \bigl\{(x,y)\mid x^2 + y^2 \le 1\bigr\}.
Então a integral de superfície vira
\iint_{S}y\,z\,dS = \iint_{D} y\,(y+3)\,\sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2}\;dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x = 0, \quad f_y = 1.
Logo
\sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}.
Assim a integral fica
\iint_{D} y\,(y+3)\,\sqrt{2}\;dA.

Passo 4

Para integrar sobre D\colon x^2+y^2\le1, passamos a coordenadas polares:
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi. O integrando é
y\,(y+3)\,\sqrt{2}\;dA = \sqrt{2}\bigl(r\sin\theta\bigr)\bigl(r\sin\theta+3\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Expandimos e separamos:
\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \bigl(r\sin\theta\,(r\sin\theta+3)\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \bigl(r^{3}\sin^2\theta +3r^{2}\sin\theta\bigr) \,dr\,d\theta.
Calculamos primeiro em r:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\tfrac14, \quad \int_{0}^{1}3r^{2}\,dr=1.
Fica
\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi} \Bigl(\tfrac14\sin^2\theta + 1\cdot\sin\theta\Bigr) \,d\theta.
Agora em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.
Portanto
\sqrt{2}\Bigl(\tfrac14\pi + 0\Bigr) = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\frac{\pi\sqrt{2}}{4}.

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