Calcule a integral de superfície.
\iint_{S} x d S,
S é a superfície y=x^{2}+4 z, 0 \leq x \leq 2,0 \leq z \leq 2

Passo 1

Resumindo, queremos calcular
\iint_{S} x \,\mathrm{d}S,
onde S é a superfície dada pelo gráfico da função
y = x^{2} + 4z,
com 0 \le x \le 2 e 0 \le z \le 2.
O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície paramétrica.

Passo 2

Parametrizamos S usando as variáveis (x,z) do domínio retangular:
\mathbf{r}(x,z) = \bigl(x,\;x^{2}+4z,\;z\bigr),
com 0\le x\le2 e 0\le z\le2.
As derivadas parciais são
\mathbf{r}_{x} = \bigl(1,\;2x,\;0\bigr), \quad \mathbf{r}_{z} = \bigl(0,\;4,\;1\bigr).

Passo 3

O elemento de área é dado por
\mathrm{d}S = \bigl\|\mathbf{r}_{x}\times\mathbf{r}_{z}\bigr\|\;\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z.
Calculando o produto vetorial e sua norma, encontramos
\bigl\|\mathbf{r}_{x}\times\mathbf{r}_{z}\bigr\| = \sqrt{1^{2} + (2x)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{1 + 4x^{2} + 16} = \sqrt{17 + 4x^{2}}.

Passo 4

Portanto a integral de superfície fica
\iint_{S} x\,\mathrm{d}S = \int_{0}^{2}\!\int_{0}^{2} x\,\sqrt{17+4x^{2}}\;\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x.
Como o integrando não depende de z, integramos primeiro em z e obtemos fator 2:
= 2 \int_{0}^{2} x\sqrt{17+4x^{2}}\;\mathrm{d}x.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{2} x\sqrt{17+4x^{2}}\;\mathrm{d}x
fazemos a substituição
u = 17 + 4x^{2}, \quad \mathrm{d}u = 8x\,\mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; x\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{8}.
A integral torna-se
\int x\sqrt{17+4x^{2}}\,\mathrm{d}x = \int \sqrt{u}\,\frac{\mathrm{d}u}{8} = \frac{1}{8}\,\frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{1}{12}\,(17+4x^{2})^{3/2}.

Passo 6

Voltando ao limite 0 a 2 e lembrando do fator 2, temos
\iint_{S} x\,\mathrm{d}S = 2 \times \frac{1}{12}\Bigl[(17+4x^{2})^{3/2}\Bigr]_{0}^{2} = \frac{1}{6}\Bigl[(17+16)^{3/2} - 17^{3/2}\Bigr] = \frac{1}{6}\bigl(33^{3/2} - 17^{3/2}\bigr).

Resposta

\iint_{S} x\,\mathrm{d}S = \frac{1}{6}\bigl(33\sqrt{33} \;-\; 17\sqrt{17}\bigr).

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