Calcule a integral de superfície.
,
é a superfície
Passo 1
Resumindo, queremos calcular
onde
é a superfície dada pelo gráfico da função
com
e
.
O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície paramétrica.
O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície paramétrica.
Passo 2
Parametrizamos
usando as variáveis
do domínio retangular:
com
e
.
As derivadas parciais são
As derivadas parciais são
Passo 3
O elemento de área é dado por
Calculando o produto vetorial e sua norma, encontramos
Passo 4
Portanto a integral de superfície fica
Como o integrando não depende de
, integramos primeiro em
e obtemos fator
:
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição
A integral torna-se
Passo 6
Voltando ao limite
a
e lembrando do fator 2, temos