Esboce o grafico das funções exponenciais e determine o domínio e a imagem das funções abaixo.
f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}+5.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função exponencial
f(x)=\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{x}+5
e determinar seu domínio e sua imagem. O conteúdo aqui é transformação de funções exponenciais: identificar a base, o comportamento (crescimento ou decrescimento) e o efeito do deslocamento vertical de +5.

Passo 2

Antes do deslocamento, a função básica é g(x)=\bigl(\tfrac13\bigr)^{x}. Como a base \tfrac13 está entre 0 e 1, g é uma exponencial decrescente com assíntota horizontal y=0. Em particular:
\lim_{x\to+\infty}g(x)=0
\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty

Passo 3

Agora, f(x)=g(x)+5 desloca o gráfico de g verticalmente para cima em 5 unidades. Logo:
– A assíntota y=0 vira a assíntota y=5.
– O formato continua decrescente, mas todo ponto de g ganhou +5 em sua ordenada.

Passo 4

Como toda exponencial \bigl(\tfrac13\bigr)^{x} está definida para qualquer x\in\mathbb{R}, o domínio não muda:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í
Para a imagem, note que \bigl(\tfrac13\bigr)^{x}>0 para todo x, logo
f(x)=\bigl(\tfrac13\bigr)^{x}+5>5.
Assim,
\text{Imagem}=(5,\,+\infty).

Passo 5

Para esboçar, basta marcar alguns pontos e a assíntota:
f(0)=1+5=6 dá o ponto (0,6).
f(1)=\tfrac13+5\approx5{,}33.
f(-1)=3+5=8.
Ao unir esses pontos por uma curva suave decrescente que se aproxima de y=5 à medida que x\to+\infty e cresce indefinidamente quando x\to-\infty, obtemos o esboço desejado.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (5,\,+\infty)

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