Determine o fluxo de
através de
, onde
, e
é a superfície que é parte do parabolóide
no primeiro octante limitado pelo plano
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente uma coisa:
-
O campo vetorial é
.
Ou seja,, e . -
A superfície
é a parte do paraboloide no primeiro octante, limitada pelo plano .
Logo a curva de interseção entre o paraboloide e o plano é dada pore como estamos no primeiro octante temos , . Assim, no plano a região projetada é o quarto de disco . -
O que o enunciado pede: calcular o fluxo de
através de . (O enunciado não especifica a orientação da normal; vou escolher a orientação “para fora” do volume encerrado pela superfície descrita abaixo — explico e justifico isso no próximo passo.)
Passo 2
Escolha do método e da orientação (explicação didática e motivação).
- Como temos uma superfície que é parte da borda de um sólido (o sólido entre o paraboloide e o plano
, no primeiro octante), é muito conveniente usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Esse teorema transforma um fluxo de superfície fechada em uma integral tripla do divergente do campo, o que costuma simplificar muito o cálculo quando as faces restantes da superfície fechada são simples (como planos). - Definição útil: o divergente de
é . O Teorema da Divergência afirma que, para uma região sólida com fronteira orientada para fora,
- Vou considerar o volume
limitado inferiormente pelo paraboloide , superiormente pelo plano , e lateralmente pelos planos coordenados e — isto forma um sólido fechado no primeiro octante. A fronteira é composta por quatro pedaços: (i) a superfície (paraboloide, que é parte da fronteira); (ii) a face superior (o quarto do disco no plano ); (iii) a face em ; (iv) a face em . Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total “para fora” através de todas essas faces é a integral tripla do divergente. - Observação sobre orientação: “para fora” significa que a normal a cada face aponta para fora do volume. Assim, o fluxo que vamos calcular para
será o fluxo com a normal orientada para fora do volume (essa é uma escolha natural quando se usa o teorema). Se, na prova, pedirem a normal com o componente positivo (normal “para cima”), basta trocar o sinal do resultado final (porque a normal para fora do volume no paraboloide aponta para baixo em termos do componente ). Vou explicitar isso no final.
Passo 3
Calcular o divergente e montar a integral tripla (a aula curta sobre o divergente).
- Primeiro calculemos o divergente:
- Derivando termo a termo:
- Portanto
Breve explicação: o divergente mede “a fonte líquida” do campo em cada ponto; integrar o divergente sobre o volume dá a saída líquida total por toda a superfície que envolve o volume (Teorema de Gauss).
- Agora a integral tripla:
Vamos calcular em coordenadas cilíndricas, porque a região projetada no plano
é um quarto de disco. Em coordenadas cilíndricas usamos
,
,
e
. No primeiro octante temos
. Para cada
a variável
varia de
(paraboloide) até
. O raio vai de
até
.
Passo 4
Avaliação da integral tripla (passo a passo das contas).
- Em cilíndricas:
Multiplicando por
obtemos o integrando
- Integramos em
de a :
- Portanto a integral tripla fica
- Observe que a parte com
separa em produto angular × radial. Calculemos as integrais angulares simples:
E
- Agora façamos as integrais radiais. Primeiro
Calcule
e
. Logo
- Em seguida
Calcule
e
. Assim o interior fica
. Dividindo por
dá
- Agora combine as partes com os fatores angulares:
Substituindo valores:
Isto é o fluxo total para fora através de toda a superfície fechada
.
Passo 5
Calcular os fluxos através das outras faces e isolar o fluxo através de
.
- A fronteira
é soma das contribuições: fluxo por (paraboloide) + fluxo por (plano — quarto de disco) + fluxo por + fluxo por . Pelo Teorema da Divergência:
- Calculemos
. No plano a normal para fora do volume é . Então o produto escalar é . Como na face superior,
Logo
onde
é o quarto de disco de raio
. Em coordenadas polares:
Calculando:
Portanto
-
As faces em
e : nelas um dos componentes ou se anula. Mais precisamente, no plano temos , então o fluxo pela face é zero; idem para a face (porque quando ). Assim . -
Portanto, isolando
:
Simplificando os termos com
:
Logo
- Interpretação da orientação: esse valor é o fluxo através de
com a normal apontando para fora do volume (orientação usada pelo Teorema da Divergência). Se, na sua prova, for pedido explicitamente o fluxo com a normal tendo componente positivo (normal “para cima”), note que a normal “para fora” no paraboloide aponta para baixo (tem componente negativa), então o fluxo com a normal para cima seria o negativo do resultado encontrado:
Fique atento ao enunciado da prova sobre qual orientação querem; aqui entreguei explicitamente o fluxo com a orientação “para fora” do volume (padrão ao usar Gauss).