Determine o fluxo de F através de S, onde F(x, y, z)=x y \vec{i}+y z \vec{j}+z x \vec{k}, e S é a superfície que é parte do parabolóide z=x^{2}+y^{2} no primeiro octante limitado pelo plano z=2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente uma coisa:
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=x y\,\vec{i}+y z\,\vec{j}+z x\,\vec{k}.
    Ou seja, P(x,y,z)=x y, Q(x,y,z)=y z e R(x,y,z)=z x.
  • A superfície S é a parte do paraboloide \;z=x^{2}+y^{2}\; no primeiro octante, limitada pelo plano \;z=2.
    Logo a curva de interseção entre o paraboloide e o plano é dada por \;x^{2}+y^{2}=2\; e como estamos no primeiro octante temos x\ge0, y\ge0. Assim, no plano xy a região projetada é o quarto de disco \;D=\{(x,y):x\ge0,y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le2\}.
  • O que o enunciado pede: calcular o fluxo de F através de S. (O enunciado não especifica a orientação da normal; vou escolher a orientação “para fora” do volume encerrado pela superfície descrita abaixo — explico e justifico isso no próximo passo.)

Passo 2

Escolha do método e da orientação (explicação didática e motivação).
  • Como temos uma superfície que é parte da borda de um sólido (o sólido entre o paraboloide e o plano z=2, no primeiro octante), é muito conveniente usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Esse teorema transforma um fluxo de superfície fechada em uma integral tripla do divergente do campo, o que costuma simplificar muito o cálculo quando as faces restantes da superfície fechada são simples (como planos).
  • Definição útil: o divergente de F é \nabla\cdot F=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}. O Teorema da Divergência afirma que, para uma região sólida V com fronteira \partial V orientada para fora,
\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS=\iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV.
  • Vou considerar o volume V limitado inferiormente pelo paraboloide \;z=x^{2}+y^{2}, superiormente pelo plano \;z=2, e lateralmente pelos planos coordenados x=0 e y=0 — isto forma um sólido fechado no primeiro octante. A fronteira \partial V é composta por quatro pedaços: (i) a superfície S (paraboloide, que é parte da fronteira); (ii) a face superior S_{\text{top}} (o quarto do disco no plano z=2); (iii) a face em x=0; (iv) a face em y=0. Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total “para fora” através de todas essas faces é a integral tripla do divergente.
  • Observação sobre orientação: “para fora” significa que a normal a cada face aponta para fora do volume. Assim, o fluxo que vamos calcular para S será o fluxo com a normal orientada para fora do volume (essa é uma escolha natural quando se usa o teorema). Se, na prova, pedirem a normal com o componente z positivo (normal “para cima”), basta trocar o sinal do resultado final (porque a normal para fora do volume no paraboloide aponta para baixo em termos do componente z). Vou explicitar isso no final.

Passo 3

Calcular o divergente e montar a integral tripla (a aula curta sobre o divergente).
  • Primeiro calculemos o divergente:
\nabla\cdot F=\frac{\partial}{\partial x}(x y)+\frac{\partial}{\partial y}(y z)+\frac{\partial}{\partial z}(z x).
  • Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(y z)=z,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(z x)=x.
  • Portanto
\nabla\cdot F = x+y+z.
Breve explicação: o divergente mede “a fonte líquida” do campo em cada ponto; integrar o divergente sobre o volume dá a saída líquida total por toda a superfície que envolve o volume (Teorema de Gauss).
  • Agora a integral tripla:
\iiint_{V} (x+y+z)\,dV.
Vamos calcular em coordenadas cilíndricas, porque a região projetada no plano xy é um quarto de disco. Em coordenadas cilíndricas usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z e dV=r\,dz\,dr\,d\theta. No primeiro octante temos \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Para cada (r,\theta) a variável z varia de z=r^{2} (paraboloide) até z=2. O raio vai de r=0 até r=\sqrt{2}.

Passo 4

Avaliação da integral tripla (passo a passo das contas).
  • Em cilíndricas:
x+y+z = r\cos\theta + r\sin\theta + z.
Multiplicando por dV=r\,dz\,dr\,d\theta obtemos o integrando
(r\cos\theta + r\sin\theta + z)\,r = r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + z r.
  • Integramos em z de r^{2} a 2:
\int_{z=r^{2}}^{2} \big(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + z r\big)\,dz = \big(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta\big)(2-r^{2}) + r\cdot\frac{1}{2}\big(2^{2}-r^{4}\big).
  • Portanto a integral tripla fica
I=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} \left[r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)(2-r^{2})+\frac{r}{2}(4-r^{4})\right]\,dr\,d\theta.
  • Observe que a parte com \cos\theta+\sin\theta separa em produto angular × radial. Calculemos as integrais angulares simples:
\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = \big[\sin\theta-\cos\theta\big]_{0}^{\pi/2} = (1-0)-(0-1)=2.
E
\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
  • Agora façamos as integrais radiais. Primeiro
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}(2-r^{2})\,dr = \int_{0}^{\sqrt{2}} (2r^{2}-r^{4})\,dr = \left[\tfrac{2}{3}r^{3}-\tfrac{1}{5}r^{5}\right]_{0}^{\sqrt{2}}.
Calcule r^{3}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2} e r^{5}=(\sqrt{2})^{5}=4\sqrt{2}. Logo
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}(2-r^{2})\,dr = \left(\tfrac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2} - \tfrac{1}{5}\cdot 4\sqrt{2}\right) = \left(\tfrac{4}{3}-\tfrac{4}{5}\right)\sqrt{2} = \tfrac{8}{15}\sqrt{2}.
  • Em seguida
\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{r}{2}(4-r^{4})\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{2}} (4r-r^{5})\,dr = \frac{1}{2}\left[2r^{2}-\tfrac{1}{6}r^{6}\right]_{0}^{\sqrt{2}}.
Calcule r^{2}=2 e r^{6}=(\sqrt{2})^{6}=8. Assim o interior fica 2\cdot 2-\tfrac{1}{6}\cdot 8 =4-\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{3}. Dividindo por 2
\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{r}{2}(4-r^{4})\,dr = \frac{4}{3}.
  • Agora combine as partes com os fatores angulares:
I = \Big(\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta\Big)\cdot\Big(\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}(2-r^{2})\,dr\Big) \;+\; \Big(\int_{0}^{\pi/2} d\theta\Big)\cdot\Big(\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{r}{2}(4-r^{4})\,dr\Big).
Substituindo valores:
I = 2\cdot\frac{8}{15}\sqrt{2} \;+\; \frac{\pi}{2}\cdot\frac{4}{3} = \frac{16}{15}\sqrt{2} + \frac{2\pi}{3}.
Isto é o fluxo total para fora através de toda a superfície fechada \partial V.

Passo 5

Calcular os fluxos através das outras faces e isolar o fluxo através de S.
  • A fronteira \partial V é soma das contribuições: fluxo por S (paraboloide) + fluxo por S_{\text{top}} (plano z=2 — quarto de disco) + fluxo por x=0 + fluxo por y=0. Pelo Teorema da Divergência:
\text{Flux}_{\partial V}= \text{Flux}_{S} + \text{Flux}_{S_{\text{top}}} + \text{Flux}_{x=0} + \text{Flux}_{y=0} = I.
  • Calculemos \text{Flux}_{S_{\text{top}}}. No plano z=2 a normal para fora do volume é \vec{n}=+\vec{k}. Então o produto escalar é F\cdot\vec{k}=R=z x. Como z=2 na face superior,
F\cdot\vec{n}=2x.
Logo
\text{Flux}_{S_{\text{top}}}=\iint_{D} 2x\,dA,
onde D é o quarto de disco de raio \sqrt{2}. Em coordenadas polares:
\text{Flux}_{S_{\text{top}}} = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt{2}} 2(r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta = 2\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}\,dr\right).
Calculando:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = 1,\qquad \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}\,dr = \left[\tfrac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{2}}=\tfrac{(\sqrt{2})^{3}}{3}=\tfrac{2\sqrt{2}}{3}.
Portanto
\text{Flux}_{S_{\text{top}}}=2\cdot 1\cdot \tfrac{2\sqrt{2}}{3}=\tfrac{4\sqrt{2}}{3}.
  • As faces em x=0 e y=0: nelas um dos componentes P ou Q se anula. Mais precisamente, no plano x=0 temos P=xy=0, então o fluxo pela face x=0 é zero; idem para a face y=0 (porque Q=y z=0 quando y=0). Assim \text{Flux}_{x=0}=\text{Flux}_{y=0}=0.
  • Portanto, isolando \text{Flux}_{S}:
\text{Flux}_{S} = I - \text{Flux}_{S_{\text{top}}} = \left(\frac{16}{15}\sqrt{2} + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{4\sqrt{2}}{3}.
Simplificando os termos com \sqrt{2}:
\frac{16}{15}\sqrt{2} - \frac{4}{3}\sqrt{2} = \left(\frac{16}{15}-\frac{20}{15}\right)\sqrt{2} = -\frac{4}{15}\sqrt{2}.
Logo
\text{Flux}_{S} = \frac{2\pi}{3} - \frac{4}{15}\sqrt{2}.
  • Interpretação da orientação: esse valor é o fluxo através de S com a normal apontando para fora do volume (orientação usada pelo Teorema da Divergência). Se, na sua prova, for pedido explicitamente o fluxo com a normal tendo componente z positivo (normal “para cima”), note que a normal “para fora” no paraboloide aponta para baixo (tem componente z negativa), então o fluxo com a normal para cima seria o negativo do resultado encontrado:
\text{Flux}_{S}^{\text{(normal para cima)}} = -\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{4}{15}\sqrt{2}\right) = -\frac{2\pi}{3} + \frac{4}{15}\sqrt{2}.
Fique atento ao enunciado da prova sobre qual orientação querem; aqui entreguei explicitamente o fluxo com a orientação “para fora” do volume (padrão ao usar Gauss).

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{15}

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