Considere L(f)(s)=F(s). Determine f(t) :
F(s)=3 s-2s^2(s^2+s-12).

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=3s-2s^2,l(s^2+s-12r),
ou seja, encontrar f(t) tal que Lf(s)=F(s).
Para isso, vamos usar decomposição em frações parciais e depois aplicar tabelas conhecidas de transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador quadrático:
s^2+s-12 = (s+4)(s-3)
Logo podemos escrever
F(s) =3s-2s^2(s+4)(s-3) =As+Bs^2+Cs+4+Ds-3
Multiplicando ambos os lados por s^2(s+4)(s-3), obtemos a identidade em s:
3s-2 = A,s,(s+4)(s-3) +B,(s+4)(s-3) +C,s^2(s-3) +D,s^2(s+4)

Passo 3

Para achar B, faça s=0:
-2 = B,(0+4)(0-3) = -12B Longrightarrow B=tfrac16
Para achar D, faça s=3:
3cdot3-2=7 = Dcdot3^2(3+4)=63D Longrightarrow D=tfrac19
Para achar C, faça s=-4:
3(-4)-2=-14 = Ccdot(-4)^2(-4-3)=-112,C Longrightarrow C=tfrac18

Passo 4

Só falta A. Podemos igualar coeficientes em alto grau ou usar um valor de s conveniente. Igualando coeficientes de s na identidade geral, chega-se a
-12A + B = 3 Longrightarrow -12A + tfrac16=3 Longrightarrow A=-tfrac1772

Passo 5

Então a decomposição final é
F(s) =-tfrac1772,1s +tfrac16,1s^2 +tfrac18,1s+4 +tfrac19,1s-3

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-1!ltfrac1sr(t)=1, L^-1!ltfrac1s^2r(t)=t, L^-1!ltfrac1s+4r(t)=e^-4t, L^-1!ltfrac1s-3r(t)=e^3t
Logo
f(t) =-tfrac1772cdot1 +tfrac16,t +tfrac18,e^-4t +tfrac19,e^3t

Resposta

f(t)=-tfrac1772+tfrac16,t+tfrac18,e^-4t+tfrac19,e^3t

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