1-) prove essa propriedade abaixo:
\sin (a x) \quad \longrightarrow-i \sqrt{ } \frac{\pi}{2}[\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)]

Passo 1

O enunciado pede para provar a transformada de Fourier de \sin(a x), mostrando que
\mathcal{F}\{\sin(a x)\}(\omega) =-\,\mathrm{i}\,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\bigl[\delta(\omega - a)-\delta(\omega + a)\bigr].
O conteúdo aqui é transformada de Fourier no convênio
\mathcal{F}\{f(x)\}(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{-\,\mathrm{i}\,\omega x}\,dx,
e a propriedade linear e o par básico
\mathcal{F}\{e^{\mathrm{i}a x}\}(\omega)=\sqrt{2\pi}\,\delta(\omega-a).

Passo 2

Usamos a fórmula de Euler para escrever
\sin(a x) =\frac{e^{\mathrm{i}a x}-e^{-\mathrm{i}a x}}{2\mathrm{i}}.

Passo 3

Pela linearidade da transformada,
\mathcal{F}\{\sin(a x)\} =\frac{1}{2\mathrm{i}} \Bigl[\mathcal{F}\{e^{\mathrm{i}a x}\} -\mathcal{F}\{e^{-\mathrm{i}a x}\}\Bigr].

Passo 4

Substituindo o par conhecido
\mathcal{F}\{e^{\mathrm{i}a x}\}(\omega) =\sqrt{2\pi}\,\delta(\omega-a), \quad \mathcal{F}\{e^{-\mathrm{i}a x}\}(\omega) =\sqrt{2\pi}\,\delta(\omega+a),
ficamos com
\mathcal{F}\{\sin(a x)\}(\omega) =\frac{1}{2\mathrm{i}} \Bigl[\sqrt{2\pi}\,\delta(\omega - a) -\sqrt{2\pi}\,\delta(\omega + a)\Bigr].

Passo 5

Fatorando \sqrt{2\pi}/(2\mathrm{i})=-\mathrm{i}\,\sqrt{\pi/2}, obtemos
\mathcal{F}\{\sin(a x)\}(\omega) =-\,\mathrm{i}\,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\bigl[\delta(\omega - a)-\delta(\omega + a)\bigr].

Resposta

\mathcal{F}\{\sin(a x)\}(\omega) =-\,\mathrm{i}\,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\bigl[\delta(\omega - a)-\delta(\omega + a)\bigr].

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