Esboce o grafico das funções exponenciais e determine o domínio e a imagem das funções abaixo.
f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-5.

Passo 1

O enunciado pede esboçar o gráfico de
f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 5
além de determinar seu domínio e sua imagem. O conteúdo envolvido é função exponencial (com base 0<\tfrac13<1, logo decrescente) e transformação de gráficos por deslocamento vertical.

Passo 2

Começamos pela função base
g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x.
Como 0<\tfrac13<1, g é decrescente:
  • Para x\to -\infty, g(x)\to +\infty.
  • Para x\to +\infty, g(x)\to 0.
    A assíntota horizontal de g é y=0 e g(0)=1.

Passo 3

Para obter f, deslocamos o gráfico de g 5 unidades para baixo.
  • A assíntota horizontal passa de y=0 para y=-5.
  • O ponto (0,1) de g vai para (0,1-5)=(0,-4).
  • Quando x\to +\infty, f(x)\to -5 (por aproximação à assíntota).
  • Quando x\to -\infty, f(x)\to +\infty.

Passo 4

O domínio de qualquer exponencial \left(\tfrac13\right)^x é o conjunto de todos os reais. Logo,
\mathrm{dom}\,f = \mathbb{R}.

Passo 5

Como \left(\tfrac13\right)^x toma valores em (0,+\infty), ao subtrair 5 temos
f(x)\in (0-5,\,+\infty-5) = (-5,+\infty).
Assim, a imagem é
\mathrm{Im}\,f = (-5,+\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: (-5,+\infty).

Exercícios relacionados