Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 3}(2 x+|x-3|)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to3}(2x + |x-3|)
Isso envolve uma função com valor absoluto, então vamos usar a definição piecewise de |x-3| e verificar os limites laterais.

Passo 2

Usando a definição de valor absoluto, para x\neq3 temos:
2x + |x-3| = \begin{cases} 2x + (3 - x) = x + 3, & x < 3,\\\\ 2x + (x - 3) = 3x - 3, & x > 3. \end{cases}

Passo 3

Calculamos os limites laterais:
\lim_{x\to3^-}(2x + |x-3|) = \lim_{x\to3^-}(x + 3) = 3 + 3 = 6,
\lim_{x\to3^+}(2x + |x-3|) = \lim_{x\to3^+}(3x - 3) = 3\cdot3 - 3 = 6.

Passo 4

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite existe e vale esse valor comum.

Resposta

6

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