Suponha que
e
são campos vetoriais em
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para campos vetoriais
e
em
, vale
Vamos usar as definições em coordenadas cartesianas:
,
,
e .
e
Passo 2
Calculemos primeiro a componente divergente de
:
Logo
Passo 3
Expanda cada derivada pelo produto:
Substituindo em
e recolhendo termos, obtemos a soma de seis parcelas em que cada uma aparece com sinal + ou –.
Passo 4
Agora escrevemos as outras duas quantidades:
Se agrupamos em
, cada termo de derivada de
multiplicado por
coincide com a parcela correspondente em
vinda de
, e o mesmo vale para os termos de derivada de
multiplicados por
, mas com sinal oposto.
Passo 5
Fazendo a comparação direta entre os seis termos de
obtidos no Passo 3 e os do Passo 4, vemos que cada termo bate exatamente. Assim concluímos