Suponha que F e G são campos vetoriais em \mathbb{R}^{3}. Mostre que
\operatorname{div}(F \times G)=G \cdot \operatorname{rot}(F)-F \cdot \operatorname{rot}(G)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para campos vetoriais \;F=(F_1,F_2,F_3) e \;G=(G_1,G_2,G_3) em \mathbb R^3, vale
\operatorname{div}(F\times G) = G\cdot \operatorname{rot}(F) - F\cdot \operatorname{rot}(G).
Vamos usar as definições em coordenadas cartesianas: \;\operatorname{div}V=\partial_xV_x+\partial_yV_y+\partial_zV_z, \;\operatorname{rot}V=(\partial_yV_z-\partial_zV_y,\;\partial_zV_x-\partial_xV_z,\;\partial_xV_y-\partial_yV_x),
e \;F\times G=(F_2G_3-F_3G_2,\;F_3G_1-F_1G_3,\;F_1G_2-F_2G_1).

Passo 2

Calculemos primeiro a componente divergente de F\times G:
F\times G = \bigl(F_2G_3 - F_3G_2,\;F_3G_1 - F_1G_3,\;F_1G_2 - F_2G_1\bigr).
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\begin{aligned} \operatorname{div}(F\times G) &= \partial_x\bigl(F_2G_3 - F_3G_2\bigr) + \partial_y\bigl(F_3G_1 - F_1G_3\bigr) + \partial_z\bigl(F_1G_2 - F_2G_1\bigr). \end{aligned}

Passo 3

Expanda cada derivada pelo produto:
\begin{aligned} \partial_x(F_2G_3) &= (\partial_xF_2)\,G_3 + F_2\,(\partial_xG_3), & \partial_x(F_3G_2) &= (\partial_xF_3)\,G_2 + F_3\,(\partial_xG_2), \\\ \partial_y(F_3G_1) &= (\partial_yF_3)\,G_1 + F_3\,(\partial_yG_1), & \partial_y(F_1G_3) &= (\partial_yF_1)\,G_3 + F_1\,(\partial_yG_3), \\\ \partial_z(F_1G_2) &= (\partial_zF_1)\,G_2 + F_1\,(\partial_zG_2), & \partial_z(F_2G_1) &= (\partial_zF_2)\,G_1 + F_2\,(\partial_zG_1). \end{aligned}
Substituindo em \operatorname{div}(F\times G) e recolhendo termos, obtemos a soma de seis parcelas em que cada uma aparece com sinal + ou –.

Passo 4

Agora escrevemos as outras duas quantidades:
G\cdot \operatorname{rot}(F) = G_1(\partial_yF_3-\partial_zF_2) + G_2(\partial_zF_1-\partial_xF_3) + G_3(\partial_xF_2-\partial_yF_1),
F\cdot \operatorname{rot}(G) = F_1(\partial_yG_3-\partial_zG_2) + F_2(\partial_zG_1-\partial_xG_3) + F_3(\partial_xG_2-\partial_yG_1).
Se agrupamos em G\cdot\operatorname{rot}(F)-F\cdot\operatorname{rot}(G), cada termo de derivada de F multiplicado por G coincide com a parcela correspondente em \operatorname{div}(F\times G) vinda de \partial(F_iG_j), e o mesmo vale para os termos de derivada de G multiplicados por F, mas com sinal oposto.

Passo 5

Fazendo a comparação direta entre os seis termos de \operatorname{div}(F\times G) obtidos no Passo 3 e os do Passo 4, vemos que cada termo bate exatamente. Assim concluímos
\operatorname{div}(F \times G) = G \cdot \operatorname{rot}(F) - F \cdot \operatorname{rot}(G).

Resposta

\operatorname{div}(F \times G) = G \cdot \operatorname{rot}(F) - F \cdot \operatorname{rot}(G).

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