Existe um campo vetorial
em
tal que
? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um campo vetorial
tal que
O conteúdo necessário é a identidade vetorial que liga divergência e rotor, em particular que para todo campo vetorial suficientemente suave vale
.
Passo 2
Lembramos a identidade geral de análise vetorial:
Isto vale em qualquer região de
onde
seja duas vezes continuamente diferenciável.
Passo 3
Se existisse
com
, então ao aplicar a divergência em ambos os lados teríamos
Por outro lado, pela identidade do Passo 2, deveria valer
. Há, portanto, uma contradição, pois
.
Resposta
Não existe campo vetorial
em
com
, pois isso violaria a identidade
.