Existe um campo vetorial \vec{G} em \mathbb{R}^{3} tal que \operatorname{rot} G=(x, y, z) ? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um campo vetorial \vec G\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tal que
\operatorname{rot}\vec G = (x,y,z).
O conteúdo necessário é a identidade vetorial que liga divergência e rotor, em particular que para todo campo vetorial suficientemente suave vale \nabla\cdot(\nabla \times \vec G)=0.

Passo 2

Lembramos a identidade geral de análise vetorial:
\nabla\cdot\bigl(\nabla \times \vec G\bigr)=0.
Isto vale em qualquer região de \mathbb{R}^3 onde \vec G seja duas vezes continuamente diferenciável.

Passo 3

Se existisse \vec G com \nabla \times \vec G=(x,y,z), então ao aplicar a divergência em ambos os lados teríamos
\nabla\cdot(x,y,z) =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} =1+1+1=3.
Por outro lado, pela identidade do Passo 2, deveria valer \nabla\cdot(\nabla \times \vec G)=0. Há, portanto, uma contradição, pois 3\neq0.

Resposta

Não existe campo vetorial \vec G em \mathbb{R}^3 com \operatorname{rot}\vec G=(x,y,z), pois isso violaria a identidade \nabla\cdot(\nabla\times\vec G)=0.

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