Nos exercícios a seguir calcule \int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
\vec{F}=y x \vec{i}+y^{2} \vec{j}+y z \vec{k} e \Omega é o elipsóide x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1 orientado com vetor normal apontando para fora.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de \vec{F} através da superfície \Omega, onde
\vec{F}(x,y,z)=yx\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+yz\,\vec{k}
e \Omega é o elipsóide
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1
orientado para fora. O conteúdo é cálculo de fluxo de campo vetorial e vamos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss).

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(yx) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(yz) =y+2y+y =4y.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{\Omega}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{E}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV =\iiint_{E}4y\,dV,
onde E é o interior do elipsóide.

Passo 4

O integrando 4y é ímpar em y e o elipsóide é simétrico em y. Logo
\iiint_{E}y\,dV=0
e consequentemente
\iiint_{E}4y\,dV=4\cdot0=0.

Resposta

0

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