Nos exercícios a seguir calcule
e
é a superfície
com
e orientada com vetor normal com componente
positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
dada por
com
,
, orientada de modo que a componente em
do vetor normal seja positiva. O conteúdo é integral de superfície (fluxo), e vamos parametrizar
, achar o vetor normal orientado e calcular
.
Passo 2
Parametrizamos
por
com
(pois
) e
. Calculamos
O produto vetorial dá o normal não orientado
Como queremos componente em
positiva, tomamos
Passo 3
Em
,
Logo o integrando é
Passo 4
O fluxo é
Integramos em
:
Fica
Passo 5
A parte
é nula (função ímpar em intervalo simétrico). Restou
Usamos integração por partes:
Avalia em
e
: