Nos exercícios a seguir calcule \int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
\vec{F}=y z^{2} \vec{i}+y e^{x} \vec{j}+x \vec{k} e \Omega é a superfície y=x^{2} com 0 \leq y \leq 4,0 \leq z \leq 1 e orientada com vetor normal com componente y positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F através da superfície \Omega dada por y=x^2 com 0\le y\le4, 0\le z\le1, orientada de modo que a componente em y do vetor normal seja positiva. O conteúdo é integral de superfície (fluxo), e vamos parametrizar \Omega, achar o vetor normal orientado e calcular \iint_\Omega\vec F\cdot d\vec S.

Passo 2

Parametrizamos \Omega por
\mathbf r(x,z)=\bigl(x,\,x^2,\,z\bigr),
com x\in[-2,2] (pois y=x^2\in[0,4]) e z\in[0,1]. Calculamos
\mathbf r_x=(1,\,2x,\,0), \qquad \mathbf r_z=(0,\,0,\,1).
O produto vetorial dá o normal não orientado
\mathbf r_x\times\mathbf r_z =(2x,\,-1,\,0).
Como queremos componente em y positiva, tomamos
d\vec S =-\bigl(\mathbf r_x\times\mathbf r_z\bigr)\,dx\,dz =(-2x,\,1,\,0)\,dx\,dz.

Passo 3

Em \Omega,
\vec F\bigl(\mathbf r(x,z)\bigr) =\bigl(y z^2,\;y e^x,\;x\bigr) =\bigl(x^2z^2,\;x^2e^x,\;x\bigr).
Logo o integrando é
\vec F\cdot d\vec S =\bigl(x^2z^2,\;x^2e^x,\;x\bigr)\cdot(-2x,\,1,\,0)\,dx\,dz =-2x^3z^2+x^2e^x \;dx\,dz.

Passo 4

O fluxo é
\iint_\Omega\vec F\cdot d\vec S =\int_{x=-2}^{2}\int_{z=0}^{1}\bigl(-2x^3z^2+x^2e^x\bigr)\,dz\,dx.
Integramos em z:
\int_0^1-2x^3z^2\,dz=-2x^3\frac{1^3}{3}=-\frac{2}{3}x^3, \qquad \int_0^1x^2e^x\,dz=x^2e^x.
Fica
\int_{-2}^{2}\Bigl(-\tfrac{2}{3}x^3 +x^2e^x\Bigr)\,dx.

Passo 5

A parte \displaystyle\int_{-2}^2 -\tfrac{2}{3}x^3\,dx é nula (função ímpar em intervalo simétrico). Restou
\int_{-2}^{2}x^2e^x\,dx.
Usamos integração por partes:
\int x^2e^x\,dx =x^2e^x-2\int xe^x\,dx =x^2e^x-2\bigl(xe^x-e^x\bigr) =e^x(x^2-2x+2)+C.
Avalia em -2 e 2:
\Bigl[e^x(x^2-2x+2)\Bigr]_{-2}^{2} =2e^2 -10e^{-2}.

Resposta

2e^2 -10e^{-2}.

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