Calcule a integral de superfície.
integral duplaS y^2 d S, S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dearto do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano x y

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
integral duplaSy^2,dS
onde S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano z=0.
Conteúdo: parametrização de superfície por coordenadas esféricas e cálculo de integral dupla.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio 2 por
x = 2sinphicostheta, y = 2sinphisintheta, z = 2cosphi,
com thetain[0,2pi] e phiin[0,pi].
A condição dentro do cilindro x^2+y^2<=1 vira
4sin^2phi<=1Longrightarrowsinphi<=tfrac12 Longrightarrowphiinl[0,tfracpi6r]
Acima do plano z=0 corresponde a phiin[0,pi/2], mas já fica garantido por phi<=pi/6.

Passo 3

O elemento de área na esfera de raio 2 é
dS = (2)^2sinphi,dphi,dtheta = 4sinphi,dphi,dtheta

Passo 4

Na parametrização temos
y = 2sinphisintheta
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y^2 = 4sin^2phi,sin^2theta
Assim o integrando fica
y^2,dS = 4sin^2phi,sin^2theta;cdot;4sinphi,dphi,dtheta =16,sin^3phi,sin^2theta,dphi,dtheta

Passo 5

A integral separa em theta e phi:
integral duplaSy^2,dS =16 integral0^2pisin^2theta,dtheta ;times; integral0^pi/6sin^3phi,dphi
Calculamos
integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi,
e
integral0^pi/6sin^3phi,dphi =integral0^pi/6(1-cos^2phi)sinphi,dphi =l[cos^3phi3-cosphir]0^pi/6 = 23-3raiz38

Passo 6

Substituindo,
integral duplaSy^2,dS =16;pi;l(23-3raiz38r) =32pi3-6piraiz3

Resposta

32pi3-6piraiz3

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