Calcule a integral de superfície
para cada um dos campos de vetores
e superfícies orientadas
indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de
através de
. Quando
é uma superfície fechada, admita que
está orientada pela normal exterior.
(a)
e
é a parte do parabolóide
, com
, orientada de modo que a normal no ponto
é
;
(b)
e
é a parte do plano
, interior ao cilindro
, orientada de modo que seu vetor normal é
;
©
e
é a parte do cone
, entre os planos
e
, orientada de modo que sua normal
satisfaz
;
(d)
e
é a esfera
;
(e)
e
é o hemisfério
, orientada de modo que a normal no ponto
é
;
(f)
e
consiste do parabolóide
e do disco
1,
, orientada para fora;
(g)
e
é o cubo de vértices
;
(h)
e
é o retângulo de vértices
e
, orientado de modo que sua normal
satisfaz
;
(i)
e
é o a parte da esfera
exterior ao cilindro
, orientado de modo que a normal no ponto
é
;
(j)
e
é a parte da superfície
, limitada pela superfície cilíndrica
, orientado de modo que sua normal
satisfaz
;
(k)
e
é a parte do cone
, limitada pelo cilindro
, orientada de modo que sua normal
;
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo
nos casos (a) até (k). O conteúdo envolve integrais de superfície de campos vetoriais, usando dois métodos principais: teorema da divergência quando a superfície fecha um volume e parametrização direta (gráfico ou coordenadas) quando for superfície aberta.
Vamos usar primeiro o teorema da divergência sempre que possível (casos (d), (f), (g)) e, nos outros, parametrizar a superfície, achar com a orientação pedida e integrar
.
Vamos usar primeiro o teorema da divergência sempre que possível (casos (d), (f), (g)) e, nos outros, parametrizar a superfície, achar
Passo 2
(a) Para o paraboloide
,
, com normal apontando pra cima, temos
. Então
e integrando em disco
Passo 3
(b) No plano
, disco
, o vetor
. Calcula-se
e em disco
Passo 4
© No cone
,
,
, escolhemos
para ter
. Dá
e integrando em
Passo 5
(d) Esfera
é superfície fechada,
. Volume da bola =
. Fluxo =
.
Passo 6
(e) Hemisfério de raio 4:
. Volume da meia-bola = metade de
=
. Fluxo fechado =
. A base plana não contribui (
,
).
Passo 7
(f) Superfície fechada = paraboloide lateral + disco superior.
. Volume entre
e
. Fazendo em cilindricas (eixo
) dá fluxo total =
.
Passo 8
(g) Cubo
,
. Volume =8. Fluxo =
.
Passo 9
(h) Retângulo no plano
, param por
,
. Achei
e
. Integrando dá
.
Passo 10
(i) Casca esférica
fora do cilindro
.
,
. Integral angular anula. Fluxo =0.
Passo 11
(j) Gráfico
, região
. Parametrizamos por
, achamos
. O termo com
anula por simetria, resta
. Dá
.
Passo 12
(k) Cone
, limitado por cilindro
, com
. Foi
e integrando
Resposta
(a) 0; (b) -3\pi/4; © -73\pi/6; (d) 108\pi; (e) 128\pi; (f) -\pi/2; (g) 48; (h) -1; (i) 0; (j) 128/5; (k) 32/3