Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot N d sigma para cada um dos campos de vetores F e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F através de S. Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.
(a) F(x, y, z)=x^2 y i-3 x y^2 j+4 y^3 k e S é a parte do parabolóide z=9-x^2-y^2, com z >= 0, orientada de modo que a normal no ponto (0,0,9) é k;
(b) F(x, y, z)=x i+x y j+x z k e S é a parte do plano 3 x+2 y+z=6, interior ao cilindro x^2+y^2=1, orientada de modo que seu vetor normal é 1raiz14(3 i+2 j+k);
© F(x, y, z)=-x i-y j+z^2 k e S é a parte do cone z=raizx^2+y^2, entre os planos z=1 e z=2, orientada de modo que sua normal N satisfaz N cdot k<0;
(d) F(x, y, z)=x i+y j+z k e S é a esfera x^2+y^2+z^2=9;
(e) F(x, y, z)=-y i+x j+3 z k e S é o hemisfério z=raiz16-x^2-y^2, orientada de modo que a normal no ponto (0,0,4) é k;
(f) F(x, y, z)=y i-z k e S consiste do parabolóide y=x^2+z^2, 0 <= y <= 1 e do disco x^2+z^2 <= 1, y=1, orientada para fora;
(g) F(x, y, z)=x i+2 y j+3 z k e S é o cubo de vértices ( pm 1, pm 1, pm 1);
(h) F(x, y, z)=(x+y) i-(2 y+1) j+z k e S é o retângulo de vértices (1,0,1),(1,0,0),(0,1,0) e (0,1,1), orientado de modo que sua normal N satisfaz N cdot j>0;
(i) F(x, y, z)=-y z i e S é o a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 exterior ao cilindro x^2+y^2 <= 1, orientado de modo que a normal no ponto (2,0,0) é i;
(j) F(x, y, z)=y i+z j+x k e S é a parte da superfície z=raiz4-x, limitada pela superfície cilíndrica y^2=x, orientado de modo que sua normal N satisfaz N cdot i>0;
(k) F(x, y, z)=x i+y j-2 z k e S é a parte do cone z=raizx^2+y^2, limitada pelo cilindro x^2+y^2= 2 x, orientada de modo que sua normal N satisfaz N cdot k<0;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo integral duplaSvec Fcdotvec N,dsigma nos casos (a) até (k). O conteúdo envolve integrais de superfície de campos vetoriais, usando dois métodos principais: teorema da divergência quando a superfície fecha um volume e parametrização direta (gráfico ou coordenadas) quando for superfície aberta.
Vamos usar primeiro o teorema da divergência sempre que possível (casos (d), (f), (g)) e, nos outros, parametrizar a superfície, achar vec rutimesvec rv com a orientação pedida e integrar vec Fcdot(vec rutimesvec rv).

Passo 2

(a) Para o paraboloide z=9-x^2-y^2, z>=0, com normal apontando pra cima, temos vec N,dsigma=lang<=2x,2y,1rang<=,dx,dy. Então
vec Fcdotvec N=2x^3y-6xy^3+4y^3,
e integrando em disco x^2+y^2<=9 via polares todas as integrais angulares anulam. Resultado: 0.

Passo 3

(b) No plano z=6-3x-2y, disco x^2+y^2<=1, o vetor vec N,dsigma=lang<=3,2,1rang<=,dxdy. Calcula-se
vec Fcdotvec N=3x+2xy+x(6-3x-2y)=9x-3x^2,
e em disco integral9x,dA=0, integral x^2dA=pi/4. Fluxo = -3pi/4.

Passo 4

© No cone z=r, 1<= r<=2, 0<=theta<=2pi, escolhemos vec N,dsigma=(rcostheta,rsintheta,-r),drdtheta para ter Ncdot k<0. Dá
vec Fcdotvec N=-(r^2+r^3),
e integrando em r,theta resulta -73pi/6.

Passo 5

(d) Esfera r=3 é superfície fechada, nablacdotvec F=3. Volume da bola = 4/3pi3^3=36pi. Fluxo = 3cdot36pi=108pi.

Passo 6

(e) Hemisfério de raio 4: nablacdotvec F=3. Volume da meia-bola = metade de 256pi/3= 128pi/3. Fluxo fechado = 3times128pi/3=128pi. A base plana não contribui ( z=0, Fcdot n=0).

Passo 7

(f) Superfície fechada = paraboloide lateral + disco superior. nablacdotvec F=-1. Volume entre y=x^2+z^2 e y=1. Fazendo em cilindricas (eixo y) dá fluxo total = -pi/2.

Passo 8

(g) Cubo [-1,1]^3, nablacdotvec F=6. Volume =8. Fluxo = 6times8=48.

Passo 9

(h) Retângulo no plano x+y=1, param por (1-u, u, v), 0<= u,v<=1. Achei vec N,dsigma=(1,1,0),du dv e vec Fcdotvec N=-2u. Integrando dá -1.

Passo 10

(i) Casca esférica r=2 fora do cilindro rxy=1. vec F=-yz,hat i, vec n=vec r/2. Integral angular anula. Fluxo =0.

Passo 11

(j) Gráfico z=raiz4-x, região y^2<= x<=4. Parametrizamos por (v,u,raiz4-v), achamos vec N,dsigma=(1/(2raiz4-v),0,1),du dv. O termo com y anula por simetria, resta integral v. Dá 128/5.

Passo 12

(k) Cone z=r, limitado por cilindro r=2costheta, com Ncdot k<0. Foi
vec Fcdotvec N=3r^2,
e integrando rin[0,2costheta], thetain[-pi/2,pi/2] obtém-se 32/3.

Resposta

(a) 0; (b) -3\pi/4; © -73\pi/6; (d) 108\pi; (e) 128\pi; (f) -\pi/2; (g) 48; (h) -1; (i) 0; (j) 128/5; (k) 32/3

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