Questão 3: Calcule integral duplaD 3 x d x d y onde D é a região do primeiro quadrante limitada por y=x, y=x3 e x=3.
resp:18

Passo 1

Resumimos o enunciado: precisamos calcular a integral dupla de 3x sobre a região D no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x, y = x/3 e x = 3. O conteúdo é integrais duplas e a ideia é usar o teorema de Fubini para escrever como integral iterada.

Passo 2

Para descrever D observamos que, projetando no eixo x, temos 0 ≤ x ≤ 3. Para cada x fixo, y varia entre a reta inferior y = x/3 e a reta superior y = x, pois a região fica entre essas duas retas. Pela regra de Fubini, montamos a integral iterada como
integralx=0^3integraly=x3^y=x3x,dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y tratando x como constante:
integraly=x3^y=x3x,dy =3xl[yr]x/3^x =3xl(x-x3r) =2x^2

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 3:
integral0^32x^2,dx =2cdotx^33l|0^3 =2cdot9 =18

Resposta

18

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