Nos Problemas 25 e 26, determine Re(z) e Im(z).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a parte real e a parte imaginária de
z=(i3-i)(12+3i)
Isso envolve simplificar frações de números complexos e extrair Re(z) e Im(z). Para isso vamos racionalizar denominadores usando conjugados.

Passo 2

Primeiro, simplificamos
i3-i
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 3-i, que é 3+i:
$$
\frac{i}{3-i}\cdot\frac{3+i}{3+i}=\frac{i(3+i)}{(3-i)(3+i)}.
i3-icdot3+i3+i=i(3+i)(3-i)(3+i)
i(3+i)=3i+i^2=3i-1,
i(3+i)=3i+i^2=3i-1,
(3-i)(3+i)=3^2- i^2=9-(-1)=10.
(3-i)(3+i)=3^2- i^2=9-(-1)=10
\frac{i}{3-i}=\frac{-1+3i}{10}=-\frac{1}{10}+\frac{3}{10}i.
$$

Passo 3

Em seguida, simplificamos
12+3i
Multiplicamos por 2-3i (conjugado de 2+3i):
$$
\frac{1}{2+3i}\cdot\frac{2-3i}{2-3i}=\frac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)}.
12+3icdot2-3i2-3i=2-3i(2+3i)(2-3i) é
(2+3i)(2-3i)=22-(3i)2=4-(-9)=13,
(2+3i)(2-3i)=2^2-(3i)^2=4-(-9)=13,
\frac{1}{2+3i}=\frac{2-3i}{13}=\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i.
$$

Passo 4

Agora multiplicamos as duas formas retangulares:
l(-tfrac110+tfrac310ir)l(tfrac213-tfrac313ir)
Usamos a regra de produto de números complexos (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i. Aqui
a=-tfrac110, b=tfrac310, c=tfrac213, d=-tfrac313
A parte real é
ac - bd = -110cdot213 - 310cdotl(-313r) = -2130 + 9130=7130
A parte imaginária é
ad + bc = -110cdotl(-313r) + 310cdot213 = 3130 + 6130=9130

Resposta

Re(z) = 7130, Im(z) = 9130

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