Um número par é um número em Z da forma 2 n, com n in Z. Um número ímpar é um número em Z da forma 2 m+1, com m in Z. Por exemplo, 9=2 cdot 4+1. Logo 9 é ímpar.
Prove que soma de números pares é um número par.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a soma de números pares é um número par. Isso envolve o conteúdo de paridade em ,mathbb{Z}, em que números pares são definidos como tendo a forma
2n
com ninZ. Para resolver, vamos usar essa definição e mostrar que, ao somar dois pares genéricos, o resultado ainda é da forma 2times(inteiro).

Passo 2

Consideremos dois números pares quaisquer, digamos a e b. Pelas definições, existem n,minZ tais que
a = 2n,
b = 2m

Passo 3

Agora calculamos a soma desses dois pares:
a + b = 2n + 2m
Podemos fatorar o 2:
a + b = 2,(n + m)

Passo 4

Como a soma de inteiros é inteira, temos n+minZ. Logo
a+b = 2,(n+m)
é da forma 2times(inteiro), ou seja, é um número par.

Resposta

A soma de dois números pares 2n e 2m é 2(n+m) com n+minZ, logo a soma de números pares é um número par.

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