Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo veto- rial Fe superfície orientada S .Em outras palavias,determine ofluxo dc F através de S .Para superfícies fechadas,use a orientação positiva (para fora).
F(x, y, z)=y i+(z-y) j+x k, S é a superfície do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1)

Passo 1

A questão pede para calcular o fluxo integral duplaSFcdot dS através da superfície fechada S do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), com orientação para fora. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, que nos permite transformar o fluxo de uma superfície fechada num triplo integral sobre o volume interno.

Passo 2

Em vez de calcular cada face do tetraedro separadamente, vamos usar o Teorema da Divergência, que diz:
integral duplaS Fcdot dS = integral triplaV (nablacdotF),dV
Ou seja, basta encontrar a divergência de F e integrar sobre o volume V do tetraedro.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F(x,y,z)=y,i+(z-y),j+x,k:
nablacdotF = partialpartial x(y) + partialpartial y(z-y) + partialpartial z(x) = 0 -1 +0 = -1

Passo 4

Agora precisamos do volume do tetraedro cujos vértices interceptam os eixos nos pontos 1. Esse volume é bem conhecido e pode ser calculado por
V = integralx=0^1 integraly=0^1-x integralz=0^1-x-y dz,dy,dx = 16

Passo 5

Finalmente, aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaS Fcdot dS = integral triplaV (nablacdotF),dV = integral triplaV (-1),dV = -1 times 16 = -16

Resposta

-\tfrac{1}{6}

Exercícios relacionados