Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F e superfície orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação (para fora) positiva.
F(x, y, z)=(0, x^2,-x z) para fora (normal para fora do plano y z) através da superfície cortada do cilindro parabólico y=2 x^2,-1 <= x <= 1, pelos planos z=0 e z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS para o campo vetorial F(x, y, z) = (0, x^2, -x z) através da superfície S. Isso significa que vamos determinar o fluxo de F passando por S. A superfície S é a parte do cilindro parabólico y = 2x^2 entre os planos z=0 e z=1, e está orientada para fora. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de superfície e como calcular fluxos usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície S. É um cilindro parabólico definido por y = 2x^2 com x variando de -1 a 1 e z de 0 a 1. Como a superfície é fechada, ela tem três partes: a parte lateral do cilindro, a base inferior ( z=0) e a base superior ( z=1). Para calcular o fluxo total, vamos calcular o fluxo em cada uma dessas partes e somar.

Passo 3

Vamos começar pela parte lateral do cilindro. Para isso, precisamos parametrizar essa superfície. Podemos usar x e z como parâmetros, já que y é definido pela equação do cilindro. Então, temos:
r(x, z) = (x, 2x^2, z)
onde x in [-1, 1] e z in [0, 1].

Passo 4

Agora, vamos calcular os vetores tangentes à superfície para encontrar o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de r em relação a x e z:
rx = (1, 4x, 0)
rz = (0, 0, 1)
O vetor normal n é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times rz = (4x, -1, 0)
Como a orientação é para fora, já está correta.

Passo 5

Vamos agora calcular o produto escalar F cdot n:
F cdot n = (0, x^2, -x z) cdot (4x, -1, 0) = 0 cdot 4x + x^2 cdot (-1) + (-x z) cdot 0 = -x^2
Então, a integral sobre a parte lateral fica:
integral duplalateral F cdot dS = integralz=0^1 integralx=-1^1 (-x^2) , dx , dz

Passo 6

Vamos resolver a integral da parte lateral:
integralx=-1^1 (-x^2) , dx = -[x^33]-1^1 = -(13 - (-13)) = -(23) = -23
Multiplicando pela integral em z:
integralz=0^1 (-23) , dz = -23 cdot 1 = -23

Passo 7

Agora, vamos calcular o fluxo nas bases. Primeiro, a base inferior onde z=0. A normal para essa base aponta para baixo, mas como queremos a orientação para fora, fica n = (0, 0, -1). O campo F na base é:
F(x, y, 0) = (0, x^2, 0)
Então, o produto escalar F cdot n é:
(0, x^2, 0) cdot (0, 0, -1) = 0
Portanto, o fluxo na base inferior é zero.

Passo 8

Agora, a base superior onde z=1. A normal para essa base aponta para cima, n = (0, 0, 1). O campo F na base é:
F(x, y, 1) = (0, x^2, -x)
O produto escalar F cdot n é:
(0, x^2, -x) cdot (0, 0, 1) = -x
Então, a integral sobre a base superior é:
integral duplasuperior F cdot dS = integralx=-1^1 (-x) cdot (2x^2) , dx = integralx=-1^1 (-2x^3) , dx
Porque a área diferencial na base superior é dS = y , dx = 2x^2 , dx.

Passo 9

Resolvendo a integral da base superior:
integralx=-1^1 (-2x^3) , dx = -2 [x^44]-1^1 = -2 (14 - 14) = -2 cdot 0 = 0
Portanto, o fluxo na base superior também é zero.

Passo 10

Finalmente, somamos os fluxos das três partes da superfície:
Fluxo total = Fluxo lateral + Fluxo base inferior + Fluxo base superior = -23 + 0 + 0 = -23

Resposta

O fluxo de F através de S é -23.

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