Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
e superfície orientada
. Em outras palavras, determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação (para fora) positiva.
para fora (normal para fora do plano
através da superfície cortada do cilindro parabólico
, pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície
para o campo vetorial
através da superfície
. Isso significa que vamos determinar o fluxo de
passando por
. A superfície
é a parte do cilindro parabólico
entre os planos
e
, e está orientada para fora. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de superfície e como calcular fluxos usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície
. É um cilindro parabólico definido por
com
variando de
a
e
de
a
. Como a superfície é fechada, ela tem três partes: a parte lateral do cilindro, a base inferior (
) e a base superior (
). Para calcular o fluxo total, vamos calcular o fluxo em cada uma dessas partes e somar.
Passo 3
Vamos começar pela parte lateral do cilindro. Para isso, precisamos parametrizar essa superfície. Podemos usar
e
como parâmetros, já que
é definido pela equação do cilindro. Então, temos:
onde
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os vetores tangentes à superfície para encontrar o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
O vetor normal
é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a orientação é para fora, já está correta.
Passo 5
Vamos agora calcular o produto escalar
:
Então, a integral sobre a parte lateral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral da parte lateral:
Multiplicando pela integral em
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o fluxo nas bases. Primeiro, a base inferior onde
. A normal para essa base aponta para baixo, mas como queremos a orientação para fora, fica
. O campo
na base é:
Então, o produto escalar
é:
Portanto, o fluxo na base inferior é zero.
Passo 8
Agora, a base superior onde
. A normal para essa base aponta para cima,
. O campo
na base é:
O produto escalar
é:
Então, a integral sobre a base superior é:
Porque a área diferencial na base superior é
.
Passo 9
Resolvendo a integral da base superior:
Portanto, o fluxo na base superior também é zero.
Passo 10
Finalmente, somamos os fluxos das três partes da superfície:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.