Calcule os limites:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites quando a função é uma fração de polinômios e o que fazer quando ao substituir o valor tende a uma forma indeterminada, como $ \frac{0}{0} $.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 3 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que devemos simplificar a expressão para encontrar o limite. Geralmente, isso envolve fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador $ x^{3} - 6x - 9 $ e o denominador $ x^{3} - 8x - 3 $.
Primeiro, para fatorar um polinômio de terceiro grau, podemos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes potenciais são os divisores do termo constante divididos pelos divisores do coeficiente líder.
Para o numerador $ x^{3} - 6x - 9 $:
Testando $ x = 3 $:
Então, $ x - 3 $ é um fator. Fazemos a divisão polinomial ou usamos a técnica de fatoração:
Para o denominador $ x^{3} - 8x - 3 $:
Testando $ x = 3 $:
Então, $ x - 3 $ também é um fator. Fazemos a divisão polinomial:
Passo 4
Agora que fatoramos, substituímos de volta na expressão do limite:
Podemos cancelar o fator comum $ x - 3 $:
Passo 5
Agora, substituímos $ x = 3 $ na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.