Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F e superfície orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a orientação (para fora) positiva.
F(x, y, z)=x i+y j+2 z k para fora (normal para fora do eixo z ) através do parabolóide z=9-x^2-y^2, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F(x,y,z)=(x,y,2z) através do paraboloide S:,z=9-x^2-y^2,,z>=0, com a normal apontando para fora do volume que ele encerra. Para aproveitar o Teorema da Divergência, vamos fechar essa superfície acrescentando o disco no plano z=0.

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de vec F, lembre-se que div,vec F=partialx(x)+partialy(y)+partialz(2z). Assim,
[\mathrm{div},\vec F = 1 + 1 + 2 = 4],
agora o Teorema da Divergência (ou de Gauss) nos diz que o fluxo total pela superfície fechada Stotal=Scup D é
[\iint_{S_{total}}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V \mathrm{div},\vec F,dV = 4,\mathrm{Vol}(V)],
onde V é o volume limitado pelo paraboloide e pelo disco D:,z=0,,x^2+y^2<=9.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas,
[\mathrm{Vol}(V)=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{3}(9-r^2),r,dr,d\theta = 2\pi \int_{0}^{3}(9r - r^3)dr = \frac{81\pi}{2}.],
Logo, o fluxo total é
[4\times \frac{81\pi}{2} = 162\pi.].

Passo 4

Falta subtrair o fluxo pelo disco D. Nesse disco z=0, temos vec F( x,y,0)=(x,y,0) e a normal para fora do volume aponta no sentido -vec k. Então
[\iint_D \vec F\cdot d\vec S = \iint_D \vec F\cdot(-\vec k),dS = -\iint_D 0,dA = 0.].
Como o fluxo pelo disco é zero, o fluxo pelo paraboloide S é igual ao fluxo total calculado.

Resposta

162pi

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