Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial
e superfície orientada
. Em outras palavras, determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação (para fora) positiva.
para fora (normal para fora do eixo
) através do parabolóide
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através do paraboloide
, com a normal apontando para fora do volume que ele encerra. Para aproveitar o Teorema da Divergência, vamos fechar essa superfície acrescentando o disco no plano
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a divergência de
, lembre-se que
. Assim,
[\mathrm{div},\vec F = 1 + 1 + 2 = 4],
agora o Teorema da Divergência (ou de Gauss) nos diz que o fluxo total pela superfície fechada é
[\iint_{S_{total}}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V \mathrm{div},\vec F,dV = 4,\mathrm{Vol}(V)],
onde é o volume limitado pelo paraboloide e pelo disco
.
[\mathrm{div},\vec F = 1 + 1 + 2 = 4],
agora o Teorema da Divergência (ou de Gauss) nos diz que o fluxo total pela superfície fechada
[\iint_{S_{total}}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_V \mathrm{div},\vec F,dV = 4,\mathrm{Vol}(V)],
onde
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas,
[\mathrm{Vol}(V)=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{3}(9-r^2),r,dr,d\theta = 2\pi \int_{0}^{3}(9r - r^3)dr = \frac{81\pi}{2}.],
Logo, o fluxo total é
[4\times \frac{81\pi}{2} = 162\pi.].
[\mathrm{Vol}(V)=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{3}(9-r^2),r,dr,d\theta = 2\pi \int_{0}^{3}(9r - r^3)dr = \frac{81\pi}{2}.],
Logo, o fluxo total é
[4\times \frac{81\pi}{2} = 162\pi.].
Passo 4
Falta subtrair o fluxo pelo disco
. Nesse disco
, temos
e a normal para fora do volume aponta no sentido
. Então
[\iint_D \vec F\cdot d\vec S = \iint_D \vec F\cdot(-\vec k),dS = -\iint_D 0,dA = 0.].
Como o fluxo pelo disco é zero, o fluxo pelo paraboloide é igual ao fluxo total calculado.
[\iint_D \vec F\cdot d\vec S = \iint_D \vec F\cdot(-\vec k),dS = -\iint_D 0,dA = 0.].
Como o fluxo pelo disco é zero, o fluxo pelo paraboloide