Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z-2 i|=2 sen zz-i d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha oint|z-2i|=2sin zz-i,dz usando a fórmula integral de Cauchy. O conteúdo principal é a aplicação da fórmula que diz que, se f é analítica dentro e sobre um contorno C e a está no interior de C, então
ointCf(z)z-a,dz = 2pi i,f(a)

Passo 2

A função f(z)=sin z é inteira (analítica em todo C), e o único ponto problemático de sin zz-i é z=i. Precisamos verificar se i está dentro do círculo de centro 2i e raio 2:
|i-2i| = | -i| = 1 < 2
Logo, z=i está dentro do contorno.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Cauchy com a=i e f(z)=sin z, obtemos
oint|z-2i|=2sin zz-i,dz = 2pi i,sin(i)

Passo 4

Para deixar o resultado em termos reais, lembramos que sin(i)=isinh(1). Então
2pi i,sin(i) = 2pi i,(isinh(1)) = -2pisinh(1)

Resposta

-2\pi\sinh(1)

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