Calcule a integral de superficie integral duplaS x^2 z^2 d S onde S é a parte do cone x^2+y^2=z^2 entre os z= pm raizx^2+y^2 planos z=1 e z=2. (Sugestão: estude o exemplo 2 p .385 antes de resolver este exercício)

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é calcular a integral de superfície
integral duplaS x^2z^2,dS
onde S é a “casquinha” do cone
x^2+y^2=z^2
entre os planos z=1 e z=2.
Conteúdo: integral de superfície de função escalar.
O que vamos precisar:
  1. Parametrizar o cone com dois parâmetros (um pra ângulo e outro pra altura).
  2. Calcular os vetores tangentes, o produto vetorial e o módulo pra achar dS.
  3. Substituir x,y,z na função x^2z^2, montar a integral dupla e resolver.

Passo 2

Parametrização do cone (só a parte positiva em z):
r(theta,z) = l(zcostheta,;zsintheta,;zr), thetain[0,2pi],;zin[1,2]
Aí os vetores tangentes são
rtheta = (-zsintheta,;zcostheta,;0), rz = (costheta,;sintheta,;1)
O elemento de área é
dS = llvert rthetatimes rzrrvert,dtheta,dz = zraiz2;dtheta,dz

Passo 3

Na função ;f(x,y,z)=x^2z^2;, substituindo x = zcostheta, fica
f = (zcostheta)^2cdot z^2 = z^4cos^2theta
Então a integral vira
integral duplaS x^2z^2,dS = integraltheta=0^2pi!integralz=1^2 l(z^4cos^2thetar),(zraiz2);dz,dtheta = raiz2integral1^2z^5,dz;integral0^2picos^2theta,dtheta

Passo 4

Sabendo que
integral0^2picos^2theta,dtheta = pi e integral1^2z^5,dz = z^66|1^2 = 64-16 = 636 = 212,
integral duplaS x^2z^2,dS = raiz2;times;212;times;pi = 21raiz2,pi2

Resposta

boxed21raiz2,pi2

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