Questão 3. Calcule a integral integral cos (ln (x)) d x.

Passo 1

Temos a integral integral cos(ln(x)),dx. O assunto aqui é integração de funções que envolvem ln(x), e para resolver vamos precisar usar uma substituição seguida de integração por partes.

Passo 2

Fazendo a substituição t = ln(x). Assim, dt = tfracdxx, o que dá dx = x,dt. Como x = e^t, obtemos
dx = e^t,dt
E também cos(ln(x)) = cos(t). Portanto a integral vira
integral cos(ln(x)),dx = integral cos(t),e^t,dt.

Passo 3

Agora precisamos calcular integral e^tcos(t),dt. Para isso usamos integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u v - integral v,du

Passo 4

Definindo
aplicamos partes escolhendo e . Então:
Isso dá
Chamando
vamos agora calcular também por partes com , , de modo que:
portanto
Substituindo de volta em temos
ou seja

Passo 5

Voltando à variável original , lembrando que e , concluímos:

Resposta

x2l(sin(ln(x)) + cos(ln(x)) + C)

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