Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2-x y+x-yx-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) para a função x^2-x y+x-yx-y. Isso está relacionado a limites de funções de duas variáveis, onde a gente investiga o comportamento da função conforme os pontos se aproximam de um certo ponto, nesse caso, (0,0). Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e analisar diferentes caminhos para ver se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que temos:
x^2 - x y + x - yx - y
A ideia aqui é simplificar o numerador para ver se conseguimos cancelar o denominador. Vamos fatorar o numerador:
x^2 - x y + x - y = x(x - y) + 1(x - y) = (x + 1)(x - y)
Então, a expressão fica:
(x + 1)(x - y)x - y
Agora, podemos cancelar o termo (x - y) que está no numerador e no denominador:
(x + 1)cancel(x - y)cancel(x - y) = x + 1

Passo 3

Agora, a função simplificada é x + 1. Para encontrar o limite quando (x, y) (0,0), basta substituir x por 0:
lim(x, y) (0,0) (x + 1) = 0 + 1 = 1
Isso significa que, independente de como a gente se aproxima de (0,0), desde que o denominador não seja zero (ou seja, x neq y), o limite será 1.

Resposta

O limite é 1.

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