Considere o conjunto G=Q--1 munido da operação definida por x cdot y=x+y+x y.
a) Prove que (G, cdot) é um grupo;
b) Ache os simétricos (inversos) de 0,25 e - 0,4 ;
c) Resolva a seguinte equação nesse grupo: (0,2) cdot x=4 cdot(-0,4).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
G = Qsetminus-1
com a operação
xcdot y = x + y + xy
Precisamos mostrar que (G,cdot) é um grupo (a), encontrar o inverso de 0,25 e de -0,4 segundo essa operação (b) e, por fim, resolver em G a equação
(0,2)cdot x ;=;4cdot(-0,4)
O conteúdo usado será noções básicas de grupo, isomorfismo com (Q^*,times), cálculo de inversos e solução de equação no grupo.

Passo 2

Para provar associatividade em G é conveniente notar que
1 + (xcdot y) =1 + x + y + xy =(1+x)(1+y)
Definimos a aplicação
phicolon G to Q^*, phi(x)=1+x
Então
phi(xcdot y)=1+(xcdot y)=(1+x)(1+y)=phi(x),phi(y)
Como (Q^*,times) é grupo abeliano, a lei cdot em G herda associatividade e comutatividade via phi.

Passo 3

Elemento neutro. Em Q^* o neutro é 1, logo em G o neutro e satisfaz
phi(e)=1 implies 1+e=1 implies e=0
Verifica-se diretamente que xcdot0 = x+0+xcdot0 = x e 0cdot x = x.
Inverso genérico. Em Q^* o inverso de phi(x) é tfrac11+x, daí em G o inverso x^-1 satisfaz
phi(x^-1)=1phi(x) Longrightarrow 1 + x^-1 = 11+x Longrightarrow x^-1 = 11+x - 1 = -,x1+x

Passo 4

Aplicando a fórmula x^-1=-tfracx1+x:
  1. Para x=0,25 = tfrac14:
x^-1 = -tfrac141+tfrac14 = -tfrac14tfrac54 = -14cdot45 = -15 = -0,2
  1. Para x=-0,4 = -tfrac25:
x^-1 = --tfrac251 - tfrac25 = tfrac25tfrac35 = 25cdot53 = 23 approx 0,6667

Passo 5

Primeiro calculamos o lado direito:
4cdot(-0,4) =4 + (-0,4) + 4cdot(-0,4) =4 -0,4 -1,6 =2
Agora escrevemos a equação (0,2)cdot x = 2, ou seja
0,2 + x + 0,2,x = 2 Longrightarrow x,(1+0,2) = 2 -0,2 Longrightarrow 1,2,x = 1,8 Longrightarrow x = 1,81,2 = 1,5

Resposta

(a) (G,cdot) é grupo, isomorfo a (Q^*,times) via phi(x)=1+x; o neutro é 0 e o inverso de x é
x^-1 = -,x1+x
(b) O inverso de 0,25 é -0,2 e o inverso de -0,4 é tfrac23.
(c) A solução de (0,2)cdot x = 4cdot(-0,4) em G é x = 1,5.

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