Considere o conjunto
munido da operação definida por
.
a) Prove que
é um grupo;
b) Ache os simétricos (inversos) de 0,25 e - 0,4 ;
c) Resolva a seguinte equação nesse grupo:
.
a) Prove que
b) Ache os simétricos (inversos) de 0,25 e - 0,4 ;
c) Resolva a seguinte equação nesse grupo:
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação
Precisamos mostrar que
é um grupo (a), encontrar o inverso de
e de
segundo essa operação (b) e, por fim, resolver em
a equação
O conteúdo usado será noções básicas de grupo, isomorfismo com
, cálculo de inversos e solução de equação no grupo.
Passo 2
Para provar associatividade em
é conveniente notar que
Definimos a aplicação
Então
Como
é grupo abeliano, a lei
em
herda associatividade e comutatividade via
.
Passo 3
Elemento neutro. Em
o neutro é
, logo em
o neutro
satisfaz
Verifica-se diretamente que
e
.
Inverso genérico. Em
o inverso de
é
, daí em
o inverso
satisfaz
Passo 4
Aplicando a fórmula
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Primeiro calculamos o lado direito:
Agora escrevemos a equação
, ou seja
Resposta
(a)
é grupo, isomorfo a
via
; o neutro é
e o inverso de
é
(b) O inverso de
é
e o inverso de
é
.
(c) A solução de em
é
.
(c) A solução de