Seja f, uma função dada por
. Prove que
. Sugestão dado
, existe um
, tal que se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
, onde
. O conteúdo aqui é limite de função no infinito, usando a definição \emph{épsilon–N}: dado
, deve existir
tal que
implique
, com
.
Passo 2
Para aplicar a definição, calculamos a distância entre
e o candidato ao limite
. Assim,
Passo 3
Passo 4
|f(x)-2| = \left|\frac{2x}{x+3} - 2\right| = \left|\frac{2x - 2(x+3)}{x+3}\right| = \left|\frac{-6}{x+3}\right| = \frac{6}{x+3}.
Passo 5
]
Passo 6
Queremos então que
. Como
para
, basta isolar
:
Passo 7
Passo 8
\frac{6}{x+3} < \epsilon \quad\Longrightarrow\quad x+3 > \frac{6}{\epsilon} \quad\Longrightarrow\quad x > \frac{6}{\epsilon} - 3.
Passo 9
]
Passo 10
Escolhemos agora
. Dessa forma, sempre que
temos
, logo
Passo 11
Passo 12
|f(x)-2| = \frac{6}{x+3} < \frac{6}{(6/\epsilon)} = \epsilon.
Passo 13
]
Passo 14
Isso mostra que para todo
existe um
que garante
sempre que
, exatamente a definição de que
.