Seja f, uma função dada por f(x)=2 xx+3. Prove que lim x +infty f(x)=2. Sugestão dado epsilon>0, existe um N>0, tal que se x>N, então |f(x)-L|<epsilon.

Passo 1

O enunciado pede para provar que limxto +infty f(x)=2, onde f(x)=2xx+3. O conteúdo aqui é limite de função no infinito, usando a definição \emph{épsilon–N}: dado epsilon>0, deve existir N>0 tal que x>N implique |f(x)-L|<epsilon, com L=2.

Passo 2

Para aplicar a definição, calculamos a distância entre f(x) e o candidato ao limite 2. Assim,

Passo 3

Passo 4

|f(x)-2| = \left|\frac{2x}{x+3} - 2\right| = \left|\frac{2x - 2(x+3)}{x+3}\right| = \left|\frac{-6}{x+3}\right| = \frac{6}{x+3}.

Passo 5

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Passo 6

Queremos então que 6x+3 < epsilon. Como x+3>0 para x>0, basta isolar x:

Passo 7

Passo 8

\frac{6}{x+3} < \epsilon \quad\Longrightarrow\quad x+3 > \frac{6}{\epsilon} \quad\Longrightarrow\quad x > \frac{6}{\epsilon} - 3.

Passo 9

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Passo 10

Escolhemos agora N = maxl0,,tfrac6epsilon-3r. Dessa forma, sempre que x>N temos x>tfrac6epsilon-3, logo

Passo 11

Passo 12

|f(x)-2| = \frac{6}{x+3} < \frac{6}{(6/\epsilon)} = \epsilon.

Passo 13

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Passo 14

Isso mostra que para todo epsilon>0 existe um N que garante |f(x)-2|<epsilon sempre que x>N, exatamente a definição de que limxto +infty f(x)=2.

Resposta

limxto +infty f(x) = 2.

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