Calcule a integral de superfície.
integral duplaS x^2 y z d S, S é a parte do plano z=1+2 x+3 y que está acima do retângulo [0,3] times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de superfície integral duplaS x^2 y z ,dS, onde S é o gráfico do plano z=1+2x+3y sobre o retângulo D=[0,3]times[0,2]. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar, e vamos precisar da parametrização como gráfico z=g(x,y) e da fórmula de elemento de área dS=raiz1+gx^2+gy^2,dA.

Passo 2

Primeiro, identificamos g(x,y)=1+2x+3y. Calculamos as derivadas parciais: gx=2 e gy=3. Logo,
dS=raiz1+(gx)^2+(gy)^2,dA=raiz1+2^2+3^2,dA=raiz14,dA

Passo 3

Substituímos z=g(x,y) na integranda e enterramos o fator raiz14 fora da integral dupla sobre D:
integral duplaS x^2y z,dS=raiz14integral0^3integral0^2 x^2yl(1+2x+3yr),dy,dx

Passo 4

Agora, fazemos a integração interna em y. Expandindo: x^2y(1+2x+3y)=x^2y+2x^3y+3x^2y^2. Então
integral0^2l(x^2y+2x^3y+3x^2y^2r)dy= x^2y^22|0^2 +2x^3y^22|0^2+3x^2y^33|0^2=2x^2+4x^3+8x^2=10x^2+4x^3

Passo 5

Em seguida, integramos em x:
integral0^3(10x^2+4x^3)dx=10x^33|0^3+4x^44|0^3=10cdot9+81=90+81=171

Passo 6

Por fim, multiplicamos pelo fator raiz14 que havíamos retirado
integral duplaSx^2y z,dS=171raiz14

Resposta

171\sqrt{14}

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