Calcule a integral de superfície: onde . Resposta:
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície , onde a superfície é definida por , com e . Esse tipo de problema pertence à matéria de Cálculo Multivariável, especificamente no tópico de integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície e determinar o elemento de área .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como está expressa em termos de , podemos usar e como parâmetros. Assim, a parametrização fica:
onde varia de 0 a 1 e também varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores parciais da parametrização em relação a e :
Passo 4
O próximo passo é encontrar o elemento de área . Para isso, calculamos o produto vetorial dos vetores parciais e :
Então, o módulo desse produto vetorial é:
| rx times ry | = raiz0^2 + (-y)^2 + 1^2 = raizy^2 + 1
Portanto, o elemento de área é:
dS = raiz1 + y^2 , dx , dy
Passo 5
Substituindo o elemento de área na integral de superfície, temos:
integral duplaS raiz1 + y^2 , dS = integral0^1 integral0^1 raiz1 + y^2 times raiz1 + y^2 , dx , dy = integral0^1 integral0^1 (1 + y^2) , dx , dy
Passo 6
Como a expressão (1 + y^2) não depende de x, podemos integrar em relação a x facilmente: