Calcule a integral de superfície: integral duplaS raiz1+y^2 d S onde S: z=12 y^2, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1. Resposta: 4 / 3

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície integral duplaS raiz1+y^2 , dS, onde a superfície S é definida por z = 12 y^2, com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1. Esse tipo de problema pertence à matéria de Cálculo Multivariável, especificamente no tópico de integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície e determinar o elemento de área dS.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. Como z está expressa em termos de y, podemos usar x e y como parâmetros. Assim, a parametrização fica:
r(x, y) = lang<= x, y, 12 y^2 rang<=
onde x varia de 0 a 1 e y também varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores parciais da parametrização em relação a x e y:
rx = partial rpartial x = lang<= 1, 0, 0 rang<=
ry = partial rpartial y = lang<= 0, 1, y rang<=

Passo 4

O próximo passo é encontrar o elemento de área dS. Para isso, calculamos o produto vetorial dos vetores parciais rx e ry:
rx times ry = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & 1 & y = lang<= 0, -y, 1 rang<=
Então, o módulo desse produto vetorial é:
| rx times ry | = raiz0^2 + (-y)^2 + 1^2 = raizy^2 + 1
Portanto, o elemento de área é:
dS = raiz1 + y^2 , dx , dy

Passo 5

Substituindo o elemento de área na integral de superfície, temos:
integral duplaS raiz1 + y^2 , dS = integral0^1 integral0^1 raiz1 + y^2 times raiz1 + y^2 , dx , dy = integral0^1 integral0^1 (1 + y^2) , dx , dy

Passo 6

Como a expressão (1 + y^2) não depende de x, podemos integrar em relação a x facilmente:
integral0^1 (1 + y^2) , dx = (1 + y^2) times (1 - 0) = 1 + y^2

Passo 7

Por fim, integramos em relação a y:
integral0^1 (1 + y^2) , dy = [ y + y^33 ]0^1 = (1 + 13) - (0 + 0) = 43

Resposta

A integral de superfície é igual a 43.

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