Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
Resposta:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo
. Vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, a gente vai precisar conhecer a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar o método de variação de parâmetros para achar a parte específica que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A gente encontra a solução geral dessa equação resolvendo a equação característica:
Resolvendo para
, temos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros. A ideia é procurar uma solução na forma:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 4
Para determinar
e
, a gente usa as seguintes fórmulas:
Onde
é o lado direito da EDO, que aqui é
, e
é o Wronskiano das soluções homogêneas
e
:
Passo 5
Vamos calcular o Wronskiano
:
Então:
Passo 6
Agora, calculamos
e
:
Passo 7
Integrando para encontrar
e
:
Usando fórmulas de integração de produtos de cossenos e senos, encontramos:
Passo 8
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Usando a identidade
: