Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
y'' + 4y = cos(3x) Resposta: y_p = -1/5 cos(3 x)

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo . Vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, a gente vai precisar conhecer a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar o método de variação de parâmetros para achar a parte específica que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . A gente encontra a solução geral dessa equação resolvendo a equação característica:
Resolvendo para r, temos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros. A ideia é procurar uma solução na forma:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 4

Para determinar e , a gente usa as seguintes fórmulas:
Onde g(x) é o lado direito da EDO, que aqui é , e W é o Wronskiano das soluções homogêneas e :

Passo 5

Vamos calcular o Wronskiano W:
Então:

Passo 6

Agora, calculamos e :

Passo 7

Integrando para encontrar e :
Usando fórmulas de integração de produtos de cossenos e senos, encontramos:

Passo 8

Substituindo e na expressão de :
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Usando a identidade :

Resposta

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