Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície integral duplaS F d S, ou seja, calcule o fluxo de F através de S . F(x, y, z)=(cos (z)+x y^2) i+x e^-z j+((y)+x^2 z) k, S é a superfície do sólido limitado pelo parabolóide z=x^2+y^2 e o plano z=4. R: 32 pi / 3

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Cálculo Vetorial onde precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S. A superfície S é delimitada por um parabolóide dado por e pelo plano . O campo vetorial é . Vamos precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência e calcular integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície do fluxo de integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV através de S é igual à integral de volume da divergência de no interior de S. Em fórmulas:
Então, nossa primeira tarefa é calcular a divergência de .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partialpartial x (cos(z) + xy^2) + partialpartial y (x e^-z) + partialpartial z (y + x^2 z) . A divergência partialpartial x (cos(z) + xy^2) = y^2 é dada por:
partialpartial y (x e^-z) = 0
Vamos derivar cada componente:
partialpartial z (y + x^2 z) = x^2
nabla cdot F = y^2 + 0 + x^2 = x^2 + y^2
Então,

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume de x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z no sólido limitado pelo parabolóide integral triplaV (x^2 + y^2) , dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta e pelo plano integralr^2^4 r^3 , dz = r^3 (4 - r^2) . É mais fácil resolver isso em coordenadas cilíndricas, onde:
integral0^2 r^3 (4 - r^2) , dr = integral0^2 (4r^3 - r^5) , dr = [ r^4 - r^66 ]0^2 = (16 - 646) = 16 - 323 = 16 times 3 - 323 = 48 - 323 = 163
No cilindrico, integral0^2pi 163 , dtheta = 163 times 2pi = 32pi3 , e o volume é limitado por .
A integral fica:
Onde vai de 0 a 2 porque implica então .
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral em :
Finalmente, a integral em :

Resposta

O fluxo de através de é .

Exercícios relacionados