Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de F através de S .
, S é a superfície do sólido limitado pelo parabolóide
e o plano
. R:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Cálculo Vetorial onde precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S. A superfície S é delimitada por um parabolóide dado por
e pelo plano
. O campo vetorial é
. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência e calcular integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície do fluxo de
através de S é igual à integral de volume da divergência de
no interior de S. Em fórmulas:
Então, nossa primeira tarefa é calcular a divergência de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência
é dada por:
Vamos derivar cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de volume de
no sólido limitado pelo parabolóide
e pelo plano
. É mais fácil resolver isso em coordenadas cilíndricas, onde:
No cilindrico,
, e o volume é limitado por
.
A integral fica:
Onde
vai de 0 a 2 porque
implica
então
.
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral em
:
Finalmente, a integral em
:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.