Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências funcionam e como elas se comportam quando o expoente tende ao infinito negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma maneira que fique mais fácil de analisar. Lembrando que qualquer número elevado a um expoente negativo pode ser reescrito como o inverso desse número elevado ao expoente positivo. Então:
Isso nos ajuda a visualizar melhor o que acontece quando
tende a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende a
. Sabemos que quando o expoente de uma base maior que 1 (como o 2) tende a
, a função cresce sem limites. Mas nesse caso, nosso expoente está tendendo a
.
Se
tende a
, então
tende a 0, porque estamos dividindo 1 por um número cada vez maior (já que
se aproxima de 0 quando
diminui sem limites).
Passo 4
Voltando à nossa expressão original, substituímos o comportamento de
:
Mas sabemos que dividir 1 por um número que está se aproximando de 0 resulta em algo que cresce sem limites, ou seja, tende ao
.
Resposta
Portanto, o limite é: