Calcule: lim x -infty 2^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x -infty 2^-x. Esse exercício está dentro do conteúdo de Limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências funcionam e como elas se comportam quando o expoente tende ao infinito negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 2^-x de uma maneira que fique mais fácil de analisar. Lembrando que qualquer número elevado a um expoente negativo pode ser reescrito como o inverso desse número elevado ao expoente positivo. Então:
2^-x = 12^x
Isso nos ajuda a visualizar melhor o que acontece quando x tende a -infty.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de 2^x quando x tende a -infty. Sabemos que quando o expoente de uma base maior que 1 (como o 2) tende a +infty, a função cresce sem limites. Mas nesse caso, nosso expoente está tendendo a -infty.
Se x tende a -infty, então 2^x tende a 0, porque estamos dividindo 1 por um número cada vez maior (já que 2^x se aproxima de 0 quando x diminui sem limites).

Passo 4

Voltando à nossa expressão original, substituímos o comportamento de 2^x:
12^x 10
Mas sabemos que dividir 1 por um número que está se aproximando de 0 resulta em algo que cresce sem limites, ou seja, tende ao +infty.

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x -infty 2^-x = +infty

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