Resolva a integral:
integral 2 x+1(x+1)^2(x^2+4)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional de variáveis reais:
integral 2x+1(x+1)^2(x^2+4)^2,dx
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e uso de integrais elementares (logaritmo, arco-tangente e integrais de potências).

Passo 2

Vamos escrever a decomposição em frações parciais do tipo
2x+1(x+1)^2(x^2+4)^2=Ax+1+B(x+1)^2+Cx+Dx^2+4+Ex+F(x^2+4)^2
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum e igualando coeficientes em potências de x vamos determinar A,B,C,D,E,F.

Passo 3

Para x=-1 obtemos
2(-1)+1= -1 = B,(1+4)^2=25B,
o que dá B=-1/25. Para A, usamos o resíduo em polo duplo:
A=limxto-1ddxl[(x+1)^22x+1(x+1)^2(x^2+4)^2r]=limxto-1ddx2x+1(x^2+4)^2=6125

Passo 4

Igualando coeficientes de x^5,x^4,,x^0 na identidade polinomial resulta em um sistema que dá

Com isso, a fração original ficou expressa nos termos parciais.

Passo 5

Agora integramos termo a termo usando integrais conhecidas:
  1. integral A/(x+1),dx= Aln|x+1|
  2. integral B/(x+1)^2,dx=-B/(x+1)
  3. integral (Cx+D)/(x^2+4),dx=C2ln(x^2+4)+D2arctan(tfracx2)
  4. integral (Ex+F)/(x^2+4)^2,dx=-E2(x^2+4)+Fl(x8(x^2+4)+116arctan(tfracx2)r)

Passo 6

Substituindo A,B,C,D,E,F e combinando termos semelhantes obtém-se a antiderivada final:
6125ln|x+1|;+ 125(x+1);- 3125ln(x^2+4);+ 13x+32200(x^2+4);+ 1532000arctanl(tfracx2r)+C

Passo 7

Essa expressão, acrescida da constante de integração C, é a solução da integral original.

Resposta

integral 2x+1(x+1)^2(x^2+4)^2,dx=6125ln|x+1|+125(x+1)-3125ln(x^2+4)+13x+32200(x^2+4)+1532000arctanl(tfracx2r)+C

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