Determine a área da superfície de revolução gerada pelas funções abaixo, em torno do eixo x.
y=e^x+e^-x2, 0 <= x <= ln 2

Passo 1

Nessa questão, a gente precisa calcular a área da superfície de revolução gerada pela curva y=tfrace^x+e^-x2 para 0<= x<=ln2 ao redor do eixo x. Esse é um problema de superfície de revolução, e vamos usar a fórmula
S = 2pi integrala^b yraiz1 + (y')^2,dx
onde y'=dy/dx.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y: y'=sinh x. Observa que
1 + (y')^2 = 1 + sinh^2 x = cosh^2 x,
então
raiz1 + (y')^2 = cosh x
Além disso, note que y=e^x+e^-x2=cosh x. Logo o integrando fica yraiz1+(y')^2=cosh xcdotcosh x=cosh^2 x, e
S = 2pi integral0^ln2 cosh^2 x,dx

Passo 3

Para integrar cosh^2 x, usamos a identidade
cosh^2 x = 1 + cosh2x2
Assim,
integral cosh^2 x,dx = integral 1 + cosh2x2,dx = x2 + sinh2x4 + C

Passo 4

Agora é só avaliar de x=0 até x=ln2. Temos
S = 2pi l[ x2 + sinh2x4r]0^ln2 = 2pi l(ln22 + sinh(2ln2)4r)
Como
sinh(2ln2)=e^2ln2-e^-2ln22=4-1/42=158,
segue
S=2pil(ln22+15/84r)=2pil(ln22+1532r)=piln2+15pi16

Resposta

piln2+tfrac15pi16

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