Sejam f(x, y, z)=x e^y^2-z^2 e P0=(1,2-2).
Encontre o plano tangente a superfície de nível f(x, y, z)=1 em P0.

Passo 1

O enunciado dá a função de três variáveis
f(x,y,z)=x,e^y^2-z^2
e o ponto P0=(1,2,-2) na superfície de nível
f(x,y,z)=1.
Queremos encontrar o plano tangente a essa superfície de nível em P0. Para isso, vamos usar o fato de que o gradiente de f em P0 é normal ao plano tangente.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f, isto é, as derivadas parciais:
partial fpartial x = e^y^2-z^2, partial fpartial y = x,e^y^2-z^2cdot 2y, partial fpartial z = x,e^y^2-z^2cdot(-2z)

Passo 3

Avaliaremos essas derivadas em P0=(1,2,-2). Note que em P0 temos y^2-z^2=4-4=0, logo e^y^2-z^2=1. Assim,
partial fpartial x|P0=1, partial fpartial y|P0=1cdot 2cdot 2=4, partial fpartial z|P0=1cdot(-2)(-2)=4
Portanto, o vetor normal ao plano tangente é
nabla f(P0)=(1,4,4).

Passo 4

A equação do plano tangente com normal (1,4,4) passando por P0=(1,2,-2) é
1,(x-1)+4,(y-2)+4,(z+2)=0
Desenvolvendo, fica
x-1+4y-8+4z+8=0 Longrightarrow x+4y+4z-1=0

Resposta

O plano tangente é
x+4y+4z-1=0

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