Esboce a região descrita e cálcule sua área.
R é a região delimitada pelos gráficos das funções f(x)=x^2 e f(x)=2 x;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região R limitada pelos gráficos de ,y=x^2 e ,y=2x. Para isso, vamos precisar determinar os pontos de interseção dessas curvas e, em seguida, usar integração para obter a área entre elas.

Passo 2

Encontramos os pontos em que as duas curvas se cruzam resolvendo
x^2 = 2x
Isolando em forma de equação polinomial,
x^2 - 2x = 0 Longrightarrow x,(x - 2) = 0
que dá x=0 e x=2. Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Para saber qual curva está acima no intervalo de x=0 a x=2, comparamos os valores de x^2 e de 2x. Num ponto genérico x desse intervalo tem-se
2x - x^2 = x,(2 - x)>= 0 para 0<= x<= 2,
logo 2x>= x^2. Portanto y=2x é a função superior e y=x^2 é a inferior.

Passo 4

A área pedida é dada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior de x=0 a x=2:
A = integral0^2l(2x - x^2r),dx

Passo 5

Calculamos a integral:
A = integral0^22x,dx ;-;integral0^2x^2,dx = l[x^2r]0^2 ;-;l[tfracx^33r]0^2 = l(4-0r) - l(tfrac83-0r) = 4 - tfrac83 = tfrac123 - tfrac83 = tfrac43

Resposta

A área da região R é tfrac43.

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